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DGL Hilfe!!!

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Philipp (Termphil)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Juni, 2000 - 22:41:   Beitrag drucken

Habe ein Problrm mit folgender DGL

y´=(sin(x)-y)/(x+1)
kann mir jemand helfen?
Danke Philipp
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Juni, 2000 - 23:12:   Beitrag drucken

Hi Philipp,

Schreibt man die linke Seite Deiner Differentialgleichung als
Quotient der Differntiale dy , dx , schafft die Brüche weg
und bringt die Gleichung auf null, so erhält man die Gleichung
f(x,y) * dx + g(x,y) * dy = 0 , mit
f(x,y) = y - sin x und g(x,y) = x + 1. (E.DGl.)
Leitet man f(x,y) partiell nach y und g(x,y) partiell nach x ab,
so erhält man das gleiche Resultat, nämlich je 1 .
Die sogenannte Integrabilitätsbedingung (Gleichheit dieser partiellen Ableitungen) besagt, dass in der Gleichung (E.DGl.) eine sogenannte
exakte Differentialgleichung vorliegt.
Die rechte Seite der Gleichung stellt ein vollständiges Differential einer
Funktion U(x,y) = C dar. (Siehe zugehörige Theorie)
Wir ermitteln U
U(x,y) = int [ (y - sinx )* dx] + int [(x+1-1) * dy] =
= y*x + cos x + xy = C , wir lösen noch nach y auf und erhalten zum Schluss die allgemeine Lösung:
y = ( C - cos x) / ( x + 1) , mit C als Integrationskonstante.
Es ist reizvoll und befriedigend , die Probe zu machen

Mit freundlichen Grüßen
Hans Rudolf Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Juni, 2000 - 13:33:   Beitrag drucken

Hi Philipp,

Meine obige Lösung soll noch etwas ausführlicher dargestellt werden
Wir notieren die Gleichung nochmals in der Schreibweise mit den
Differentialen dx und dy:

f(x,y) * dx + g(x,y) * dy = 0 , mit

f(x,y) = y - sin x und g(x,y) = x + 1. (E.DGl.)

Da die partiellen Ableitungen von f (x,y) nach y und
von g(x,y) nach x übereinstimmen ( beide ergeben den Wert 1 ),
ist die Integrabilitätsbedingung erfüllt, und es liegt eine sogenannte
exakte DGl. vor, die leicht zu lösen ist.
Es existiert eine Stammfunktion U(x,y) .Durch Auflösung von U(x,y) = C
nach y erhält man die allgemeine Lösung der gegebenen DGl.
(C ist eine beliebige Integrationskonstante)

Jetzt bestimmen wir U(x,y):
Die partielle Ableitung von U nach x ist f(x) , als gilt (* bedeutet part. Abl.)
d * U / d x = y - sin x ; diese Gleichung wird nach x integriert; es kommt:
U(x , y) = y * x + cos x + phi ( y ) (Gleichung I )
Das Resultat dieser Integration bleibt bis auf eine noch zu bestimmende Funktion in y unbestimmt !
Jetzt leiten wir die Gleichung (I) partiell nach y ab; Ergebnis:
d* U / d y = x + phi ' (y) ( Gleichung II a)
andrerseits gilt wegen (E. DGl.) :
d* U / d y = x + 1 ( Gleichung II b)
Aus ( II a ) und ( II b ) folgt:
phi ' (y) = 1 , also phi = y .
Mit (I) erhält man damit das Ergebnis :
U ( x , y ) = x * y + cos x + y = C , daraus das Endresultat wie früher:

y = ( C - cos x ) / ( x + 1 ) Bravo !

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.

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