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Philipp (Termphil)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Juni, 2000 - 22:41: |
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Habe ein Problrm mit folgender DGL y´=(sin(x)-y)/(x+1) kann mir jemand helfen? Danke Philipp |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Juni, 2000 - 23:12: |
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Hi Philipp, Schreibt man die linke Seite Deiner Differentialgleichung als Quotient der Differntiale dy , dx , schafft die Brüche weg und bringt die Gleichung auf null, so erhält man die Gleichung f(x,y) * dx + g(x,y) * dy = 0 , mit f(x,y) = y - sin x und g(x,y) = x + 1. (E.DGl.) Leitet man f(x,y) partiell nach y und g(x,y) partiell nach x ab, so erhält man das gleiche Resultat, nämlich je 1 . Die sogenannte Integrabilitätsbedingung (Gleichheit dieser partiellen Ableitungen) besagt, dass in der Gleichung (E.DGl.) eine sogenannte exakte Differentialgleichung vorliegt. Die rechte Seite der Gleichung stellt ein vollständiges Differential einer Funktion U(x,y) = C dar. (Siehe zugehörige Theorie) Wir ermitteln U U(x,y) = int [ (y - sinx )* dx] + int [(x+1-1) * dy] = = y*x + cos x + xy = C , wir lösen noch nach y auf und erhalten zum Schluss die allgemeine Lösung: y = ( C - cos x) / ( x + 1) , mit C als Integrationskonstante. Es ist reizvoll und befriedigend , die Probe zu machen Mit freundlichen Grüßen Hans Rudolf Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Juni, 2000 - 13:33: |
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Hi Philipp, Meine obige Lösung soll noch etwas ausführlicher dargestellt werden Wir notieren die Gleichung nochmals in der Schreibweise mit den Differentialen dx und dy: f(x,y) * dx + g(x,y) * dy = 0 , mit f(x,y) = y - sin x und g(x,y) = x + 1. (E.DGl.) Da die partiellen Ableitungen von f (x,y) nach y und von g(x,y) nach x übereinstimmen ( beide ergeben den Wert 1 ), ist die Integrabilitätsbedingung erfüllt, und es liegt eine sogenannte exakte DGl. vor, die leicht zu lösen ist. Es existiert eine Stammfunktion U(x,y) .Durch Auflösung von U(x,y) = C nach y erhält man die allgemeine Lösung der gegebenen DGl. (C ist eine beliebige Integrationskonstante) Jetzt bestimmen wir U(x,y): Die partielle Ableitung von U nach x ist f(x) , als gilt (* bedeutet part. Abl.) d * U / d x = y - sin x ; diese Gleichung wird nach x integriert; es kommt: U(x , y) = y * x + cos x + phi ( y ) (Gleichung I ) Das Resultat dieser Integration bleibt bis auf eine noch zu bestimmende Funktion in y unbestimmt ! Jetzt leiten wir die Gleichung (I) partiell nach y ab; Ergebnis: d* U / d y = x + phi ' (y) ( Gleichung II a) andrerseits gilt wegen (E. DGl.) : d* U / d y = x + 1 ( Gleichung II b) Aus ( II a ) und ( II b ) folgt: phi ' (y) = 1 , also phi = y . Mit (I) erhält man damit das Ergebnis : U ( x , y ) = x * y + cos x + y = C , daraus das Endresultat wie früher: y = ( C - cos x ) / ( x + 1 ) Bravo ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath. |
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