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Bamdad (Bamdad)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Juni, 2000 - 17:06: | 
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Wer kann mir bei folgender Aufgabe weiterhelfen?
Bestimmen Sie für die folgende Funktion die Punkte mit in allen Richtungen waagerechten Tangenten und entscheiden Sie, ob es sich um Minima, Maxima oder Sattelpunkte handelt.
y = 5*(x1^2)*x2 + 3*(x1-5)^2 - 20*x2 + 100
Ich habe hier die ersten Partiellen Ableitungen bestimmt und diese gleich Null gesetzt.
Heraus kam ein möglicher Extrema an x1=-1,27 und x2=13,446
daraus ergibt sich ein sattelpunkt an diesem Punkt.
Mir kommt das ganze etwas komisch vor ! ! ! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Juni, 2000 - 17:07: |
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Hi Bamdad,
Für die Lösung Deiner Aufgabe benütze ich eine durchwegs andere Bezeichnung:
Die unabhängigen Variablen sind x und y statt x1 , x2
Die gegebene Funktion lautet dann:
z = f ( x ,y ) = 5 * x ^ 2 * y +3 * ( x - 5 ) ^ 2 - 20 * y +100
Die erste partielle Ableitung von f nach x ist dann
p = 10 * x * y + 6 * ( x - 5 )
Die erste partielle Ableitung von f nach y lautet:
q = 5 * x ^ 2 - 20
Die zweite partielle Ableitung von f nach x , x lautet:
r = 10 * y + 6
Die zweite partielle Ableitung von f nach y , y ist:
s = 0
Die zweiten partiellen Ableitungen von f nach x , y bezw. nach y , x
stimmen überein (Satz von Schwarz) und lauten:
u = v = 10 * x.
Mit diesen Daten lassen sich alle gestellten Fragen beantworten:
Ermittlung der Nullstellen der ersten partiellen Ableitungen:
Aus dem Gleichungssystem
p = 0
q = 0 berechnet man :
1.Fall: x = 2 , daraus folgt y = 0.9 und schliesslich z = 127
2.Fall: x = - 2 , daraus y = -2.1 und z = 247.
In beiden Fällen handelt es sich um einen Sattelpunkte, weil der Term
D = r * s - u ^ 2 = - 100 * x ^ 2 jedenfalls negativ ist
Wäre D > 0 , läge jeweils ein Extremum vor ;
Für D = 0 fällt zunächst keine Entscheidung
Die Entscheidung brächte erst eine Verlängerung mit eventuellem
Penaltyschiessen !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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