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Beitrag |
    
Thomas
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Juni, 2000 - 18:49: | 
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Hallo!
Wie kann man (möglichst verständlich) beweisen, dass die Linearkombination
von zwei Partikulärlösungen y1 und y2 das allgemeine Integral y=C1*y1+C2*y2
darstellt, wenn die Wronskische Detreminate von Null verschieden ist, d.h.
die beiden Partikulärlösungen linear unabhängig sind?
Vielen Dank!
Thomas |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Juni, 2000 - 21:06: |
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Hi Thomas,
Deine Frage stellt Dir ein gutes Zeugnis aus, und es freut mich, Dir eine einigermassen verständliche Antwort darauf geben zu können.
Nehmen wir als Beispiel eine lineare homogene Dgl. zweiter Ordnung.
y '' + p(x) * y + q(x) * y = 0 (H)
(siehe auch die heutige Frage von Martin zum selben Thema;
dort geht es um eine solche DGl. und eine dazugehörige inhomogene Gleichung)
Zwei Lösungen y1 und y2 der DGl. (H) heissen linear unabhängig, wenn zwischen ihnen keine identisch in x gültige Relation
r * y1 + s * y2 = 0
mit den konstanten und von null verschiedenen Koeffizienten r und s besteht
Mit anderen Worten
Die lineare Unabhängigkeit von y1 und y2 bedeutet, dass der Quotient
Q = y2 / y1 nicht konstant ist.
Wir setzen nun voraus, dass y1 und y2 linear unabhängig sind
Daraus folgt , dass die Ableitung Q' von Q nach x von null
verschieden ist.
Wir berechnen Q' mit der Quotientenregel und erhalten
Q ' = ( y1 * y2' -y2 * y1' ) / y1 ^ 2
Im Zähler steht - deus ex machina - die Wronskische Determinante
der Lösungen y1 , y2 ; wir bezeichnen sie im folgenden mit dem Symbol
W (y1,y2)
Wir haben gezeigt, dass im Falle der Unabhängigkeit W nicht null ist.
Damit wäre Deine Frage beantwortet - Es gäbe allerdings zu diesem Thema noch einiges zu berichten; leider reicht die Zeit nicht
.
Noch zwei Bemerkungen zum Abschluss
1) Die Wronski Determinante hat die bemerkenswerte Eigenschaft:
W (y1,y2 ) = W° * e ^ ( - int [ p(t) *dt] ), untere Grenzen x°, obere Grenze x,
wobei W° gleich dem Wert von W(y1,y2) für x = x° ist
(bitte nicht weitersagen !)
2) Jozef Maria Wronski (1776 -1853) war ein französischer Philosoph
und Mathematiker polnischer Herkunft.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Thomas
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Juni, 2000 - 21:32: |
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Hallo!
Erst einmal vielen Dank für die ausführliche und vor allem verständliche Antwort!
Es leuchtet mir durchaus ein, dass man mit der Wronskischen Determinante die linare Unabhängigkeit zeigen kann.
Allerdings verstehe ich nicht, warum aus dieser linearen Unabhängigkeit von zwei (n) Partikulärlösungen folgt, dass das allgemeine Integral sich als Summer der Partikulärlösungen zusammensetzten muss, d.h. das y=C1*y1+C2*y2 bzw. (y=C1*y1+C2*y2+...+Cn*yn)
Gruß,
Thomas |
H,R,Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Juni, 2000 - 14:27: |
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Hi Thomas ,
Deine Frage habe ich nachträglich (!) verstanden und versuche, sie
möglichst elementar zu beantworten.
Wir gehen aus von einer homogenen DGl. zweiter Ordnung
y '' + p(x) y' + q(x) y = 0 (H)
Wir zeigen : je drei Lösungen von (H) sind linear abhängig.
in concreto:
y1 und y2 seien zwei linear unabhängige Lösungen von (H)
Ist dann y3 eine weitere Lösung, so sind die drei Lösungen y1, y2, y3
linear abhängig, d.h. y3 ist eine Linearkombination von y1 und y2;
damit entpuppt sich {y1,y2} als ein sogenanntes
Fundamentalsystem der DGl.
Zum Beweis brauchen wir den Existenz - und Eindeutigkeitssatz,
den wir als bekannt voraussetzen und nicht beweisen (Ex / Ei)
Bei diesem Satz wird vorausgesetzt, dass p(x) und q(x)
in einem abgeschlossenen Intervall [a,b] stetig sind
Dann besitzt die DGl. (H) genau eine Lösung, die an einer
Stelle x0 des Intervalls den vorgegebenen Wert y0 und den
gegebenen Wert y'0 der Ableitung hat.
Ueberdies ist diese Lösung samt ihren Ableitungen erster und
zweiter Ordnung stetig im ganzen Intervall.
Und nun zum angekündigten Beweis:
Wir wählen eine Stelle x0 aus dem Intervall aus und
bestimmen die Konstanten c1 und c2 so, dass an dieser
Stelle für y3 folgendes gilt:
y3 (x0) = c1* y1 (x0) + c2 * y 2 (x0) (S)
y3 ' (x0) = c1* y1 ' (x0) + c2 * y2 ' (x0)
Diese Gleichung hat eine eindeutig bestimmte Lösung,
da die Determinante des Systems (rechts),nämlich
y1(x0)* y2 '(x0) - y1 '(x0) y2(x0) gerade die gestern besprochene
Wronskische Determinante W(y1,y2) ist
Da y1 und y2 linear unabhängig sind, ist W von null verschieden
und damit S eindeutig lösbar
Jetzt kommt der Clou
Mit den soeben bestimmten Konstanten c1 , c2 bilden wir :
y4 = c1 * y1 + c2 * y2
y4 ist eine Lösung von (H) , die bei x0 mit y3 übereinstimmt
und dieselbe erste Ableitung wie y3 hat. Daher ist sie nach
dem Satz (Ex / Ei) mit y3 identisch und y3 ist eine
Linearkombination von y1 , y2 .
Damit ist der Beweis zu Ende, hoffentlich zu Deiner Zufriedenheit.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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