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Firefly (Firefly)
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Juni, 2000 - 15:24: | 
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Ich habe da eine Frage: die Fkt. y=x^3 sei gegeben, die Steigung der Sekante =x°/y°
y°=f(x+x°)-f(x)
wenn ich nun y=x^3 einsetze, erhalte ich x^3+x°, die Lösung ist aber (x+x°)^3
Danke schon zum voraus!!!!!! |
ari
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Juni, 2000 - 10:10: |
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Hi Firefly,
für x° schreibe ich a, um die blöden Indizes wegzukriegen.
Funktion f an den Stellen x und x+a :
Abstand der Funktionswerte (y-Achse) ist f(x+a) - f(x)
Abstand der x-Werte ist (x+a)-x = a
Steigung der Sekante ist [f(x+a) - f(x)] / a
Bei Dir wird f(x) = x³, f(x+a) = (x+a)³. Also
[f(x+a) - f(x)] / a =
[(x+a)³ - x³] / a =....................| Binomi
[x³ + 3*x²*a + 3*x*a² + a³ - x³] / a =
[3*x²*a + 3*x*a² + a³] / a.............| durch a teilen
3*x² + 3*x*a + a² = Steigung der Sekante = Differenzenquotient
Da a (ungleich Null) jetzt nicht mehr im Nenner steht, kann man den Grenzwert des Differenzenquotienten bestimmen, wenn a gegen Null geht (a "immer enger" an Null geht).
Dann geht auch a² = a*a gegen 0*0 = 0 und
3*x*a gegen 3*x*0 = 0
Damit geht der Differenzenquotient 3*x² + 3*x*a + a² gegen 3*x² + 0 + 0 = 3*x². Das ist dasselbe wie die Ableitung der Funktion f(x) = x³ (Differentialquotient).
Ciao. |
Firefly (Firefly)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Juni, 2000 - 12:56: |
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Hi ari,
Vielen Dank für deine Hilfe!!! Ich glaube, dass ich es nun geschnallt habe. Dann ist die Begründung , dass y°=(x+a)^3-x^3 ist, dass
f(x)=x^3 und daraus folgt dass f(x+a)=(x+a)^3 ?!?
Stimmt das so oder habe ich es etwa immer noch nicht begriffen?
Bitte um Korrektur, falls dies der Fall wäre.
Grüessli |
ari
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Juni, 2000 - 08:22: |
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Hi Firerfly, Du hast vollkommen recht. f(x) = x³ hat zur Folge, daß f(x+a)=(x+a)³ ist.
Stell Dir das so vor: in Deinem beispiel ist f(x)=x³ ein Automat, der folgendes macht:
egal welche reelle Zahl x Du in den Automaten reinschmeißt, raus kommt immer x*x*x = x³. Also z.B.
x --------> f(x) = x³
2 --------> 2*2*2 = 8
-3 -------> (-3)*(-3)*(-3) = -27
0 --------> 0*0*0 = 0
5=2+3 ----> (2+3)*(2+3)*(2+3) = 5*5*5 = 125
x+a ------> (x+a)*(x+a)*(x+a) = (x+a)³
Ciao. |
Firefly (Firefly)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Juni, 2000 - 21:34: |
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Hi ari, ich kann dir einfach nur danken.
Was sagst du denn zu der Gleichung y=2x^3+5x im Zusammenhang mit der obigen Formel(y=y°/x°)?
Wie muss ich mir das vorstellen? |
ari
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Juni, 2000 - 08:16: |
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Hi Firefly, der Unterschied zum vorigen Beispiel besteht vor allem darin, daß das x zweimal vorkommt. Wenn Du eine Zahl für x einsetzt, mußt Du einfach stur bleiben und ÜBERALL dort, wo x vorkommt, einsetzen:
x ------> y=f(x)=2x³+5x
2 ------> y=f(2)=2*2³+5*2=2*8+10=26
-2 -----> y=f(-2)=2*(-2)³+5*(-2)=-2*8-10=-26
1/2 ----> y=f(1/2)=2*(1/2)³+5*(1/2)=2/8+5/2=1/4+10/4=11/4
Zur Vorbereitung von f(x+a):
Nochmal x=2, aber als Summe 1+1 geschrieben:
1+1 ----> y=f(1+1)=f(2)=2*(1+1)³ + 5*(1+1)=26 wie oben
3 ------> y = f(3) = 2*3³+5*3=54+15=69
Dasselbe liefert
2+1 ----> y=f(2+1)=f(3) = 2*(2+1)³ + 5*(2+1)= 69
Bei einer Summe "x+a" mußt Du also immer für das "x" in Deiner Funktion diese Summe "x+a" einsetzen:
x+a ----> y=f(x+a)=2*(x+a)³ + 5*(x+a)
Der Zähler des Differenzenquotienten ist
f(x+a)-f(x) = 2*(x+a)³ + 5*(x+a) - [2*x³ + 5*x]
Der Nenner des Differenzenquotienten ist IMMER (d.h. bei jeder Funktion) (x+a)-x = a
Wir berechnen wieder die Ableitung f ' (x), es muß 2*3*x²+5 = 6*x²+5 herauskommen.
Der Zähler ist f(x+a) - f(x) =
2*(x+a)³ + 5*(x+a) - [2*x³ + 5*x] = .......| Binomi
2*(x³ + 3*x²*a + 3*x*a² + a³) + 5*x+5*a - 2*x³ - 5*x=
2x³ + 6x²a + 6xa² + 2a³ + 5x + 5a - 2x³ - 5x = ........| 2x³ und 5x heben sich auf
6x²a + 6xa² + 2a³ + 5a = Zähler. Nenner = a.
Differenzenquot. = Zähler / Nenner =
[6x²a + 6xa² + 2a³ + 5a] / a =
6x² + 6xa + 2a² + 5
Hier taucht jetzt kein a mehr im Nenner auf, daher kann wieder a gegen Null laufen.
Damit läuft der Differenzenquotient 6x² + 6xa + 2a² + 5 gegen 6x² + 6*x*0 + 2*0² + 5 = 6x²+5. Das ist die Ableitung f ' (x) = df(x)/dx.
Wenn Du noch Fragen hast, melde Dich bitte.
Ciao. |
Firefly (Firefly)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Juni, 2000 - 13:08: |
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Hi ari, das ist eigentlich sehr einleuchtend und logisch!!
Aber ich hätte da schon wieder eine andere Frage zu den Asymptoten:
y=(2x^2-2x)/(x-1)
Def.lücke bei 1
Nullstellen: x=0 und x=1
Asymptote = 2x
Nun heisst es, dass die Asymptote ausser bei x=1, mit der Funktion zusammenfällt.
Wo ist nun da der Zusammenhang zwischen der Nullstelle 1, der Definitionslücke 1 und der Aymptote 2x, wenn diese gerade mit der Funktion zusammenfallen soll?!
Gruss Firefly |
ari
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Juni, 2000 - 11:07: |
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Hi Firefly,
so wie ich es sehe, hast Du bisher solche Funktionen wie f(x) = 2*x³ + 5*x und deren Ableitung f ' (x) = 6*x² + 5 kennengelernt. Ist Dir grundsätzlich klar, wie man solche Funktionen ableitet? Dann können wir das abhaken, ansonsten ist es ok und Du meldest Dich bitte, wenn es da noch Wunsch nach Klärung gibt.
PS.: Solche Funktionen wie die oben heißen auch Polynome oder ganz-rationale Funktionen. Das sind immer Funktionen in einer einzigen Variablen (meist x genannt) mit folgenden Bauregeln:
- es dürfen auch Potenzen von x auftreten [x², x³, ...]
- diese dürfen mit irgendwelchen zahlenmäßig gegebenen Brüchen multipliziert werden [6*x, (-3/2)*x², (1/2)*x³, ...]. Null ist auch erlaubt.
- Diese Dinger dürfen alle noch addiert werden [-4*x³+(3/2)*x² - 86 ,wobei hier das x "fehlt", genauer steht dort 0*x]
- Es darf auch ein Nenner vorkommen, etwa (x²+3x+1)/55, ABER DER NENNER DARF NIE (!!!!!) die Variable x enthalten.
Wie gesagt, wenn Du diese ganz-rationalen Funktionen ableiten kannst, können wir diesen ersten Schritt abhaken.
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Deine neue Funktion ist auch thematisch etwas Neues, nämlich eine GEBROCHEN-rationale Funktion, was nichts anderes als ein Bruch (Quotient) ist, wo sowohl der Zähler als auch der Nenner ein Polynom sind. Und zwar taucht im Nenner MINDESTENS EINMAL IRGENDEINE POTENZ VON x AUF.
Soweit zur Einordnung. Deine Funktion heißt f(x) = (2*x² - 2*x) / (x - 1). Da taucht x im Nenner auf und Du imponierst Deinem Lehrer, wenn Du als erstes auf den Nenner schaust, der nie Null werden darf. Denn in einem Bruch darf der Nenner NIE Null sein. Also untersuche diesen Fall.
Nenner = x-1 = 0...............|addiere 1
x=1
Nenner = 0 heißt x-1=0. Das ist dasselbe wie x=1. Also: In Deiner Funktion f kannst Du bis auf x=1 jede reelle Zahl einsetzen. Dein Lehrer sagt dafür:
Der Definitionsbereich D der Funktion f sind alle reellen Zahlen IR, allerdings ohne die zahl 1, kurz: D = IR \ {1}. Dafür schreibst Du richtig: Def.lücke bei 1. Die Bestimmung des Definitionsbereichs ist IMMER DER ERSTE SCHRITT bei diesen gebrochen-rat. Funktionen.
Nun gibt es manchmal (nicht immer) Funktionen, bei denen man diese Lücke sozusagen kitten kann, und das ist heir der Fall. Das ist immer der Fall, wenn man den Zähler so umformen kann, daß der Nenner sich rauskürzen läßt. An Deinem Beispiel - immer x ungleich 1 vorausgesetzt:
f(x) = (2*x² - 2*x) / (x - 1) = ..........2 und x im Zähler ausklammern
2*x*(x-1) / (x-1) = ....................| (x-1)/(x-1)=1, Kürzen
2*x
Kurz: f(x) = 2*x und HIER ist der Definitionsbereich D = IR (alle reellen Zahlen, incl. 1). f(x) = 2*x ist nichts anderes als eine Gerade durch den Nullpunkt mit der Steigung +2.
ZUSAMMEN kann man also sagen Def.bereich von f = IR \ {1} und wir setzen fest: f(1) = 2*1 = 2. Denn wegen f(x)=2*x ist dann auch f(1)=2*1. Das wird häufig eine "hebbare Definitionslücke" genannt. Das ist das "Kitten" im nachhinein.
Klick mal den FUNKTIONENPLOTTER an und gib Deine Funktion genau so ein, wie Du sie aufgeschrieben hast: (2x^2-2x)/(x-1) und Du siehst die Gerade, inclusive mit dem Funktionswert bei x=1.
Soweit klar? Dann haben wir's gleich.
Nullstellen von f(x) .............|Beachte: x ungleich 1 wegen des Def.bereichs
f(x) = 0
(2x²-2x)/(x-1) = 0 .............|*(x-1), ok, da x ungleich 1
2x²-2x=0............................|:2
x²-x=0.............................| x ausklammern
x*(x-1)=0
Ein Produkt ist Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist.
Erster Fall: x=0 -------> Das ist eine Nullstelle
Zweiter Fall: x-1=0, also x=1. DIESER FALL IST AUSGESCHLOSSEN, denn 1 gehört NICHT zum Definitionsbereich von f. Oben haben wir "gekittet", f(1)=2*1=2, also auch hier ist bei x=1 keine Nullstelle.
Also, Deine Frage kann so beantwortet werden: Definitionslücke 1 ist richtig, Nullstelle 1 ist falsch (denn wo nix definiert ist, kann es auch keine Eigenschaften wie "Nullstelle" geben).
Große Schwierigkeiten habe ich mit der Asymptote 2*x, denn f(x) ist IDENTISCH mit 2*x (außer in x=1, logo, f dort nicht definiert). Ich kenne Asymptoten als Geraden, denen sich eine Funktion f immer mehr "anschmiegt", "nähert", ohne sie aber zu berühren. Asymptoten fallen nach meinem Wissen mit der Funktion f nicht zusammen, was bei Dir aber der Fall ist.
Ein Beispiel für eine Asymptote: g(x)=1/x für x größer Null. Gib im Funktionenplotter mal diese Funktion ein, und laß x von 0.1 (Null Punkt Eins, kein Dezimalkomma, sondern Dezimalpunkt) bis 10 laufen. Du siehst: sowohl die positive x-Achse als auch die positive y-Achse sind Asymptoten.
Puh, das war lang, aber hoffentlich hilfreich. PS.: im Archsiv findest Du unter den Stichworten "asymptote" und "definitionslücke" Einiges, was Dir weiterhelfen kann.
Ciao. |
Firefly (Firefly)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Juli, 2000 - 14:49: |
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Herzlichen Dank, das mit Der Ableitung ist klar.
Alles andere soweit auch. Ich finde es einfach nur mega schräg, dass eine Funktion mit der Asymptote (ausser in einem Punkt) zusammenfallen kann...! Aber vielleicht habe ich da etwas falsch verstanden. Ich werde in der nächsten Math. stunde fragen, was es damit auf sich hat.
Gruss |
Firefly (Firefly)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Juli, 2000 - 18:35: |
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Nun habe ich gefragt, wie denn das sein könne, dass eine Funktion gerade mit ihrer Asymptote zusammenfallen könne. Eine richtige Antwort habe ich natürlich nicht bekommen!!!
Begründung: Das ist einfach so, dass sie gerade aufeinander zuliegen kommen, wenn die Funktion eine Gerade ist. Dann muss ich das halt einfach mal so akzeptieren.Oder hat da jemand eine bessere Erklärung für mich?! |
Thomas
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juli, 2000 - 11:19: |
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Hi Firefly!!
Habe gerad so ein bischen rumgesurft und bin auf Deine letzte Frage gestoßen...
Meiner Meinung sowieso nur eine akademische Spielerei (auch wenn mir da viele Leute nicht zustimmen werden... ;-) )
In dem Fall mit dem y = (2x^2-2x)/(x-1) ist es eigentlich nur so, daß irgendjemand (weil er Bock drauf hatte) die Gerade y = 2x hergenommen hat und erweitert hat mit (x-1). Stell Dir 2x einfach als Bruch vor: 2x/1 und jetzt erweiterst Du mit (x-1) multiplizierst also oben und unten damit und schon steht die Funktion wie Du sie hattest da...
Das ist das gleich wie bei Brüchen wenn Du 1/2 erweiterst mit 5 ergibt das 5/10 , der Wert an sich bleibt aber gleich. Also bleibt bei dem Beispiel auch die Gerade die Gleiche (also eine Gerade), außer eben an der Stelle an der die Definitionslücke ist.
Gruss Thomas |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juli, 2000 - 21:12: |
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Hi Firefly
Eine Gerade ist immer ihre eigene Asymptote.
Das mag ein bisschen blöd klingen, weil Asymptote ja irgendwie von "nicht berühren" kommen soll... (Ich habe weder Ahnung von Griechisch, noch Latein)
Ich kann mir das nur so erklären: Bei einer Hyperbel (wie z.B. y=1/x) sind die Asymptoten "richtige" Asymptoten, d.h. die Kurve y=1/x berührt oder schneidet keine der beiden Asymptoten (x-Achse und y-Achse)
Wenn man aber nun versucht, eine korrekte Definition einer Asymptote für allgemeine Funktionen zu finden, so muss man sich davon loslösen, dass eine Asymptote nie berührt oder geschnitten wird, z.B. y=(sinx)/x schneidet die Asymptote (=x-Achse) unendlich mal.
Laut Definition ist eine Gerade dann eine Asymptote einer Kurve, wenn die Entfernung der Kurve zur Gerade gegen Null strebt, während die Entfernung vom Ursprung gegen Unendlich strebt.
Daraus folgen jetzt einige eigenartige Tatsachen, wie z.B., dass eine Gerade ihre eigene Asymptote ist, weil der Abstand einer Gerade zu sich selbst ja immer Null ist und auch Null bleibt, wenn man sich unendlich weit vom Usprung entfernt.
Genau die gleichen Probleme ergeben sich übrigens auch mit Tangenten und Sekanten:
Jede Gerade ist ihre eigene Tangente. (was mit der ursprünglichen Vorstellung von Tangente als "Berührende" auch nichts mehr zu tun hat...)
So, das war jetzt vielleicht etwas zu ausführlich, aber ich habe keine Lust, jetzt wieder was wegzustreichen...
Ciao
Cosine |
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