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Beitrag |
    
Martin
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Juni, 2000 - 10:44: | 
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Hallo,
ich habe schon wieder Probleme mit einer DGL.
DGL y" + 9y = 9x
a) Bestimme die allgemeine Lösung.
b) Ermittle die Lösung mit den RB y(0)=0 und
y'(0)=m für m ungleich 1.
c) Skizziere den Graphen der Lösung für m=2 und
x E (o,pi) mit Untersuchung auf Extrem- und Wendepunkte.
d)Untersuche die Kurvenschar in Abhängigkeit von m für m ungleich 1 auf Wendepunkte. (x E (0,pi))
e)Für welche Werte von m ungleich 1 sind über (0,pi) Extrempunkte möglich? Hierfür soll nur der entsprechende Bereich für m bestimmt werden.
Meine Lösungen für a,b,c:
a) Y=C1*e^-3x +x
b) C1 = m-1/-3
c) C1 = -1/3 ; y'(0)=2 ; y" (0)=-3
keine Exrempunkte, keine Wendepunkte
Kann das simmen?
Vielen Dank im voraus, Martin. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Juni, 2000 - 14:26: |
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Hi Martin,
Wir bestimmen zuerst die allgemeine Lösung der zugehörigen
homogenen linearen DGl. 2.Ordnung mit konstanten Koeffizienten
(dies der volle Name!)
y '' + 9* y = 0
Wir benützen den Ansatz y = e ^ ( k * x ) und erhalten für die Konstante k
die sogenannte charakteristische Gleichung
k ^ 2 + 9 = 0. Diese Gleichung besitzt die rein imaginären Lösungen
k1 = i * 3 und k2 = i * 3.
Somit lautet die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung:
y = A * cos (3 * x ) + B * sin ( 3 * x ) , A und B sind
Integrationskonstante ( Lösung H).
Für die inhomogene Gleichung suchen wir eine Einzellösung
(eine sog. partikuläre Lösung ) durch den Ansatz:
y = a*x + b. Setzt man dies samt y ' = a und y'' = 0 in die gegebene DGl. ein,
so findet man sofort a =1 und b=0.
Nach der Theorie ergibt sich die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung durch Superposition der allg.Lösung (H) der homogenen Gl.
mit der soeben bestimmten partikulären Lösung y = x
der inhomogenen Gl.
a)
Die allgemeine Lösung der gegebenen DGl. lautet
y = A* cos(3x) + B* sin(3*x) + x
b) aus a) berechnen wir y' = - 3 * A* sin (3*x) + 3*B* cos(3x) + 1
Die Bedingung y(0) = 0 verlangt A = 0 ,
die Bedingung y'(0) = m ergibt B = (m - 1) / 3
c) Aus m = 2 folgt : y = 1/3 * sin(3x) + x.
Da y '' = -3* sin (3*x) gilt, finden wir Wendepunkte im genannten Intervall
bei den x-Werten x1 = 0 , x2 = Pi/3, x3 = 2 * Pi /3, x4 = Pi.
Bei x = x2 liegt sogar ein Terrassenpunkt vor , da hier y' null ist,
ebenso bei x4.
Extremalpunkte gibt es keine.
d) und e ) stellen wir noch zurück (Lösungen bei Bedarf !)
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Martin
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Juni, 2000 - 15:34: |
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Warum bekomme ich bei der Gleichung k^2 + 9 = 0
die Lösungen k1 = i*3 und k2 = i*3 ?
Wieso ergibt der Ansatz y = e^(k*x) die homogene
Gleichung y = A*cos(3*x)+B*sin(3*x) ? Woher kommen
cos und sin ?
Wenn möglich auch d) und e).
Danke, Martin. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Juni, 2000 - 21:54: |
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Hi Martin,
Es folgen noch die Lösungen zu den Teilfragen d) und e)
Zu d) :
Die Ableitungen sind:
y' (x) = ( m - 1 ) * cos ( 3x ) + 1
y'' (x) = - 3 * ( m - 1 ) sin ( 3x )
Im angegebenen Intervall [0,Pi] gibt es vier Nullstellen für
die zweite Ableitung ,
nämlich bei x1 = 0 , x2 = Pi / 3 , x3 = 2 * Pi / 3, x4 = Pi
Alle diese Stellen ergeben ,wie die nicht verschwindenden dritten
Ableitungen zeigen, wirklich Wendestellen.
Bei zweien von ihnen (x2 und x4) verschwindet auch die
erste Ableitung, somit liegen hier Wendepunkte mit horizontalen
Tangenten, sogenannte Terrassenpunkte ,vor
Zu e)
Setzt man y' = 0 so ergibt sich die Gleichung für Extremalstellen
cos (3x) = - 1 / / (m -1 ) oder cos (3x) = 1 / (1-m)
Der absolute Betrag eines Kosinuswertes darf nicht grösser als 1
Sein; daher lautet die gesuchte Bedingung für m:
m > 1 und m < 0 ( für m=0 gibt es keine Extrema sondern wiederum
"nur" Terrassenpunkte
Zu Deinen übrigen Fragen nehme ich später Stellung
Empfehlung:
In der Zwischenzeit solltest Du unbedingt Deine Kenntnisse über
die komplexen Zahlen vertiefen und zB. die Formel von Euler
e ^ ( ix) = cos x + i * sin x studieren !
Was folgt daraus für e ^ (- ix) ? usw.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Juni, 2000 - 11:19: |
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Hi Martin,
Es könnte nutzbringend sein, wenn wir zuerst ein paar
Grundbegriffe zusammenstellen, insbesondere
über komplexe Zahlen.
0. Begriff der komplexen Zahl, algebraische Darstellung z = a + ib
trigonometrische Darstellung: z = r [cos (phi) + i sin (phi)]
Realteil a, Imaginärteil b , Betrag r , argument phi
Umrechnung: r = wurzel ( a ^ 2 + b ^ 2 ) etc.
Begriff "konjugiert komplex" u.s.w.
1. Die Eulersche Formel gestattet, eine in trigonometrischer Form
gegebene komplexe Zahl als e-Potenz mit imaginärem Exponent
darzustellen und umgekehrt
Diese Formel lautet: e ^ ( i x ) = cos x + i sin x (E 1)
selbstredend gilt i ^ 2 = - 1 (imaginäre Einheit i = i1)
Ersetzt man x durch - x , so erhält man sofort:
e ^ ( - i x ) = cos x - i sin x (E 2)
2. Setzt man den Ansatz e ^ (kx) in die homogene Differentialgleichung
y" + a * y ' + by = 0 ein,so erhält man die charakteristische Gleichung
k ^ 2 + a * k + b = 0
Wir nehmen im Folgenden an , dass diese Gleichung komplexe
Lösungen hat. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Diskriminante
D der charakteristischen Gleichung negativ ist, d.h. wenn
D = a ^ 2 - 4 b < 0 gilt.
Die Lösungen sind dann konjugiert komplex ; sie seien mit
k1 = u + i v und k2 = u - i v bezeichnet.
Es gilt bekanntlich nach der Auflösungsformel für quadratische Gleichunngen: u = - a / 2 , v = wurzel ( b - a ^ 2 / 4 )
Setzt man diese Werte in den Ansatz e ^ (k x) ein, so erhält man:
mit k1 eine Lösung y1 = e ^ {(u + iv) x} = e ^ (ux)* e ^ (ivx), mit E1:
y1 = e ^ (u x)* (cos vx + i * sin vx),
mit k2 kommt die Lösung
y2 = e ^ {( u - iv)x} = e ^ (ux) * e ^ ( - ivx ) = e ^ (ux) * ( cos vx - i sin vx) ,
letzteres nach E2.
3. Aus der Theorie ist der Satz bekannt ,dass bei komplexen
Lösungen sowohl der Realteil als auch der Imaginärteil
je eine Lösung der DGl. darstellen.
Somit sind der Realteil von y1, also Y1 = e ^ (ux)* cos vx
und der Imaginärteil von y1, nämlich Y2 = e ^ (ux) * sin vx
Lösungen der DGl.
Da die Wronskische Determinante W (siehe Beitrag von gestern ,
Anfrage Thomas) von null verschieden ist ,sind die Lösungen Y1 und Y2 linear unabhängig und bilden folglich ein Fundamentalsystem.
Die allgemeine Lösung Y lässt sich mit den Konstanten A und B als
Linearkombination der Lösungen Y1 und Y2 wie folgt darstellen
Y = e ^ (u x)* [ A * cos ( vx ) + B * sin ( vx ) ]
4. Bei der vorliegenden DGl. lautet die charakteristische Gleichung:
k ^ 2 + 9 = 0 , die Lösungen sind rein imaginär, nämlich :
k1 = i * 3 , und k2 = - i * 3 (Probe durch Einsetzen!)
Mit den vorhergehenden Bezeichnungen gilt Realteil u = 0,
Imaginärteil v = 3 ; damit entstehen die von mir in der ersten Arbeit erwähnten Lösungen
Hoffentlich ist jetzt alles klar !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Martin
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Juni, 2000 - 11:36: |
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Vielen Dank für die ausführlichen Antworten
und die Geduld.
Martin |
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