| Autor |
Beitrag |
    
Kai
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. Juni, 2000 - 08:15: | 
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Hy,
Die Eigenwerte fogender Matrix sind zu berechnen.
1 0 2
0-1 2
2 2 0
Was sind Eigenwertew? |
ari
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. Juni, 2000 - 09:46: |
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Hi Kai,
ist x ein Vektor in R³, x=(x1,x2,x3) und A eine Matrix mit 3 Zeilen und 3 Spalten, so ist A*x zunächst nichts anderes als ein neuer Vektor x' in R³. Anschaulich wird das erst, wenn Du z.B. drei Vektoren x,y,z hast, die die Eckpunkte eines Dreiecks bilden. Wenn Du jetzt alle drei Vektoren mit A malnimmst, so bilden die drei Vektoren x'=A*x, y'=A*y, z'=A*z ebenfalls ein Dreieck, das je nach Gestalt von A zum ersten Dreieck um einen Winkel gedreht, verschoben, gespiegelt ... ist.
Ein Sonderfall liegt dann vor, wenn die Multiplikation A*x die Lage von x nicht verändert, sondern lediglich bewirkt, daß x verlängert oder gestaucht wird, etwa 3*x liefert. das kann man dann so schreiben:
A*x=3*x
In diesem Fall nennt man 3 einen EIGENWERT der Matrix A und den Vektor x einen EIGENVEKTOR dieses Eigenwerts.
A*x=3*x ist gleichbedeutend mit
A*x - 3*x = 0 (Nullvektor), was wiederum heißt
(A-3)*x = 0
Ausführlich, was heißt (A-3), wie sieht die Matrix aus?
A*x=3*x heißt
a11x1 + a12x2 + a13x3 = 3x1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = 3x2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = 3x3
Rechte Seite nach links bringen und die x1 ... ausklammern
(a11-3)x1 + a12x2 + a13x3 = 0
a21x1 + (a22-3)x2 + a23x3 = 0
a31x1 + a32x2 + (a33-3)x3 = 0
(A-3) ist also die Matrix A, wobei in der Hauptdiagonalen immer 3 abgezogen wird.
In Deinem Beispiel ist die Matrix A gegeben, die Eigenwerte sind gesucht. Die unbekannten Eigenwerte kriegen den Buchstaben e verpaßt. Dann heißt das
(A-e)*x = 0. Die Matrix A-e ist dann
1-e....0.....2
0.....-1-e...2
2......2....-e
Du kannst diese Unbekannten e berechnen, indem Du die Determinante D dieser Matrix (A-e) berechnest, etwa nach der Sarrus'schen Regel
D=+a11(a22a33-a23a32)
..-a12(a21a33-a23a31)
..+a13(a21a32-a22a31)
und gleich Null setzt (D=0).
(Das habe ich aus dem Archiv geklaut, Stichwort "sarrus").
Schon der erste Term zeigt, daß Du Potenzen von e, also e² und e³ erhältst. Das ist also genau so wie ein Polynom dritten Grades, dessen Nullstellen Du suchst (eine Nullstelle suchen, dann Polynomdivision, was ein Polynom zweiten Grades liefert, dann Mitternachts- bzw. p-q-Formel). Die drei Lösungen e1, e2, e3 sind dann endlich Deine Eigenwerte der Matrix A.
Ich hoffe, das hilft etwas. Ciao. |
ari
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Juni, 2000 - 08:35: |
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Hi, auch wenn Kai das nicht liest bzw. antwortet, muß ich einen blöden Fehler in meiner Erklärung der Eigenwerte korrigieren.
Ich schrieb:
A*x=3*x ist gleichbedeutend mit
A*x - 3*x = 0 (Nullvektor), was wiederum heißt
(A-3)*x = 0
Die letzte Zeile ergibt keinen Sinn (was ist Matrix minus Zahl?). Man kann nur Matrizen voneinander abziehen. Im Beispiel soll von der Matrix A eine andere abgezogen werden, die außerhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen, in der Hauptdiagonalen immer die Zahl 3 hat. Das erreicht man mittels der Einheitsmatrix
1...0...0
0...1...0
0...0...1
die hier mit I³ bezeichnet wird (3 Zeilen, 3 Spalten, da R³ zugrunde liegt).
Die richtige Matrix ist dann 3*I³ =
3...0...0
0...3...0
0...0...3
und die falsche Zeile muß dann ersetzt werden durch
(A-3*I³)*x = 0
Ciao. |
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