| Autor |
Beitrag |
    
Martin
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juni, 2000 - 16:15: | 
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Hi!
Ich habe folgendes Problem und hoffe, dass mir
jemand helfen kann.
Gegebe sei die DGL y'-3y = xe^4x
a)Bestimmen sie die vollstaendige Loesung.
b) Wie lautet die Loesung mit der Randbedingung
y(0)=-1.
c) Bestimmen sie die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, das asymptotische Verhalten der Funktion und deuten sie damit unter Beachtung der Stetigkeit der Funktion ohne weitere Berechnung den Graphen an.
Schoenen Dank, Martin. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juni, 2000 - 20:27: |
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Hi Martin,
Es liegt eine inhomogene lineare DGl. erster Ordnung vor.
Wir lösen zuerst die homogene Gleichung durch Separation der Variablen:
Aus y ' - 3 y = 0 folgt dy / y = 3 * dx ; durch Integration beider Seiten
zunächst ln y = 3 * x + c ( c const )
Die Auflösung nach y ergibt:
y = C * e ^ (3*x ) mit C als Integrationskonstante.
Um nun die allgemeine Lösung der inhomogenen DGl. zu bekommen,
benützen wir die Methode der Variation der Konstanten C .
Die Konstante C macht Karriere und wird zu einer Variablen C(x).
Wir machen als Lösung der gegebenen Gleichung den Ansatz:
y = C ( x ) * e ^ x ; dies wird , zusammen mit der Ableitung
y ' ( x ) = C ' (x ) * e ^ (3*x) +3*C(x)* e^(3*x)
in die gegebene DGl. eingesetzt; wir erhalten so :
C ' ( x )* e ^ ( 3 * x ) + 3* C( x ) * e ^ ( 3*x ) - 3* C ( x ) * e ^ ( 3*x )
= x * e ^ ( 4 * x ) ; es heben sich zwei Summanden weg, und es bleibt, wenn beide Seiten noch mit e ^ ( 3 * x ) dividiert werden ,eine sehr einfache DGl. für C ( x ) übrig ,nämlich:
C ' ( x ) = x * e ^ x; diese lässt sich durch eine partielle Integration
nach C(x) auflösen
Als Resultat ergibt sich mit der Integrationskonstanten k :
C(x) = x * e ^ x - e ^ x + k.
Dies setzen wir an Stelle von C in die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung ein; es kommt
y = ( x * e ^ x - e ^ x + k ) * e ^ ( 3 * x ) oder
y = x * e ^ ( 4 * x ) - e ^ ( 4 * x ) + k * e ^ ( 3 * x ) , (k: konst)
Dies ist die unter a) verlangte allgemeine Lösung der gegebenen DGl.
Soll eine Lösungskurve durch den gegebenen Punkt ( 0 / - 1 ) gehen,
so ist k = 0 zu setzen, wie man durch Einsetzen leicht herausfindet
Eigenschaften des Graphen der partikulären Lösung
y = ( x - 1 ) * e ^ ( 4 * x )
Er geht durch die Punkte A ( 1 / 0 ) und B ( 0 / - 1 ) ;
Die negative x-Achse ist Asymptote; für x gegen + unendlich geht
y ebenfalls gegen plus unendlich.
Die Kurve verläuft von minus unendlich bis x = 1 unterhalb der x-Achse,
für x >1 liegt sie ganz im 1.Quadrant.
Geheimtip: für x = ¾ stellt sich ein absolutes Minimum der Funktion ein.
Bestimme auch zum Plausch ihren Wendepunkt !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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