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Beitrag |
    
Ralph
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. März, 1999 - 11:36: | 
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erste aufgabe
welche von allen nach unten geöffneten parabeln 2. ordnung, mit der y-achse als symmetrieachse, die durch den punkt (1/1) gehen, schließt mit der x-achse die kleinste fläche ein?
wie geht diese aufgabe?
die lösung ist a_min = 2*wurzel(3)
zweite aufgabe
die parabel y=wurzel(2px) schneidet den kreis x^2+y^2-8x = 0 in p(x1/y1). wie muss p gewählt werden, damit die fläche zwischen parabel und der geraden x = x1 bei rotation um die x-achse einen körper größten volumens ergibt? |
Pi*Daumen
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. April, 1999 - 13:31: |
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Hallo,
zur ersten Aufgabe:
Die Parabeln haben die Form f(x)=-(x+a)²+b
Zusätzlich wissen wir noch, daß f(1)=1 ist, also -(1+a)²+b=1 => -a²-2a-1+b=1 => b=a²+2a+2 => f(x)=-(x+a)²+a²+2a+2 = -x²-2ax+2a+2
Nullstellen von f(x):
-(xN+a)²+a²+2a+2=0 => (x+a)²=a²+2a+2 => xN1/2=-a±Wurzel(a²+2a+2)
Jetzt berechnen wir die Fläche:
òxN2 xN1 f(x)dx = [-x³/3 -ax² +2ax +2x]xN2xN1
Jetzt mußt Du das ausrechnen und bekommst die Fläche in Abhängigkeit von a heraus. Diese Flächenfunktion hat ein Minimum (erste Ableitung=0, zweite >0) und daraus erälst Du das gesuchte a, aus a dann b und damit kennst Du die gesuchte Funktion.
Ist nicht ultraschwer, wenn Du das Prinzip verstanden hast, aber etwas rechenintensiv ....
Aufgabe 2:
Rechne durch Einsetzen der parabelgleichung in die Kreisgleichung aus: x1=8-2p
Mit der Parabelgleichung f(x) = Wurzel(2px) berechne jetzt das Rotationsvolumen R(p)=p*ò0 8-2p f(x)² dx = [px²]08-2p = p(8-2p)² = 4p³-32p²+64p
=> Zwecks Maximierung setzen wir 0=R'(p)=12p²-64p+64 => p²-16/3p+16/3=0 => p=8/3±Wurzel(16/9) = 8/3±4/3 => p1=4 und p2 = 4/3
R"(p)=24p-64 => R"(p1)> 0 und R"(p2)< 0.
Damit muß p=4/3 gewählt werden.
Rechne beides aber nochmal genau nach. Vom Prinzip stimmt es, nur wenn ich mich nicht verrechnet habe ......
CU, Pi*Daumen |
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