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Beitrag |
    
!Frank
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Juni, 2000 - 17:57: | 
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Hallo,
gesucht sind ganzrationale Fkt. 2.Grades,
welche den Graphen von f(x)=ln(x+1) im Punkte P(0;1) berühren.
Ich habe schon ein Ergebnis,
nämlich alle Parabeln g(x)=a2+x für alle a ungleich -½ und ungleich 0.
Was ergibt sich aber für den Spezialfall a=-½ ?
Die notwendige Bedingung d'(x)=0 wird erfüllt,
aber was ergibt sich für die hinreichende Bedingung?
Gruß,
Frank. |
Ralf
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Juni, 2000 - 14:00: |
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Dein g(x) ist doch eine lineare Funktion und nicht 2. Grades. Dann liegt P nicht auf f.
Kannst Du diese 2 Punkte nochmal überlegen und erklären?
Ralf |
!Frank
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juni, 2000 - 12:46: |
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Tippfehler:
g(x)=a*x2+x für alle a<>0.
Überprüft habe ich es mit der Fkt.
d(x)=g(x)-f(x) Extremstellenuntersuchung.
Dann ergibt sich, dass es einen Spezialfall
gibt, nämlich a=-½.
Die eigentlich Frage ist also, ob
d(½) eine Extremstelle ist.
Frank |
!Frank
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juni, 2000 - 12:49: |
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Natürlich noch ein Tippfehler:
P(0;0)
Frank |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Juni, 2000 - 00:10: |
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Hi!
Ich komme irgendwie nicht auf deine Bedingung a ungleich (-1/2)...
Ich habe so angefangen:
g ist Funktion 2.Grades, also g(x)=ax²+bx+c (a ungleich 0)
Nun geht g durch P(0,0), g(0)=0 => c=0
Nun berührt g f bei x=0, also
f'(0)=g'(0)
Die Ableitung von f(x)=ln(x+1) ist f'(x)=1/(x+1),
die Ableitung von g ist g'(x)=2ax+b
Die Bedingung
f'(0)=g'(0)
lässt sich also schreiben als:
1/(0+1)=2a*0+b
=> b=1
Ich bekomme also für g die Gleichung
g(x)=ax²+x
mit a ungleich 0
Da ich also an keiner Stelle den Fall a=-1/2 weggelassen habe, gilt die g(x)=ax²+x für alle a außer 0.
Wie kommst Du auf -1/2?
Ciao
Cosine |
!Frank
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Juni, 2000 - 13:38: |
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Hallo!
Dein Weg beschreibt nur die notwendige Bedingung.
Wir bzw. unser Lehrer hat die hinreichende Bed. für einen Berührpunkt B(b;y) von zwei Fkt. f(x) u. g(x) wie folgt definiert:
d(x)=g(x)-f(x) hat B(b;y) als Extrempunkt.
Daraus ergibt sich für diese Aufgabe:
d(x)= a*x2+x-ln(x+1)
d´(x)=2*a*x + 1- 1/x+1
d´´(x)=2*a + 1/(x+1)2
d´(0)=0 : 1-1=0 w.A.
d´´(0) ungleich 0 : 2a+1 ungleich 0
<=> a ungleich -½
Also zunächst die Antwort: Alle Parabeln g(x)=ax2+x mit a ungleich 0 u. -½.
Nun wird noch der Spezialfall a=-½ untersucht:
d´(0)=0 w.A.
d´´(0)ungleich 0; keine Aussage möglich,
also Vorzeichenwechselkriterium:
d`(-0,1)=-0,01...
d`(0,1)=-0,009...
kein Vorzeichenwechsel: die Fkt. berühren sich bei a=-½ nicht.
Wir haben die Aufgabe inzwischen gelöst. Diese hinreichende Bed. scheint in diesem Fall sehr aufwendig, es gibt aber Fälle, wo die Bed. f(x)=g(x) und f´(x)=g´(x) nicht hinreichend sind.
Gruß,
Frank. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Juni, 2000 - 22:52: |
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Hi Frank
Ich gebe mich geschlagen: Du hast Recht!
Ich habe mir mal wieder das Leben etwas zu einfach gemacht.
Ciao
Cosine |
Phil (Phill)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Juni, 2000 - 18:40: |
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Hey yo, was muß man machen, wenn man untersuchen
soll, ob zwei verschiedene Graphen der Funktionenschar fa(x) = x^2+4x+a / x-1
einen gemeinsamen Punkt besitzen??
:-) Respekt,
Phil |
Bodo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Juni, 2000 - 20:39: |
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einfach die beiden Funktionen gleichsetzen und schauen, ob es ein x als Lösung dieser Gleichung gibt. Wenn ja, dann ist das (evtl. auch mehrere) der x-Wert des Schnittpunkts, ansonsten gibt es eben keinen.
Bodo |
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