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noFEAR
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Juni, 2000 - 23:19: | 
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Hab kein Pall von Grenzwertberechnung, bitte um Hilfe!!!
Berechnen Sie, falls vorhanden, folgende Grenzwerte:
a) lim(x->0)[(sin(3x))/(sin(2x))]
b) lim(n->unendl)[(sqrt(3n²+n)-2n)/(5n)]
c) lim(x von oben geg 0)[2+t*(sqrt(1+4/t²))] UND
lim(x von untengeg 0)[2+t*(sqrt(1+4/t²))]
Wenn einer mehr Ahnung als ich hat, bitte kmplt. Lösungsweg schreiben-besten Dank |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Juni, 2000 - 00:30: |
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Hi noFEAR!
a) lim(x->0)[(sin(3x))/(sin(2x))]
Zähler und Nenner streben beide gegen 0, wir haben also einen 0/0 Fall und können L'Hospital anwenden.
lim(x->0)[(sin(3x))/(sin(2x))]
=lim(x->0)[(Ableitung Zähler)/(Ableitung Nenner)]
=lim(x->0)[(3cos(3x))/(2cos(2x))]
=3cos(3*0))/(2cos(2*0))=3/2
b) lim(n->unendl)[(sqrt(3n²+n)-2n)/(5n)]
Diesen komplizierten Bruch spalten wir als erstes in zwei Brüche auf:
lim(n->unendl)[(sqrt(3n²+n)/(5n)-(2/5)]
Die 5n im Nenner des vorderen Bruches teilen wir nun auf , indem das (1/5) als Vorfaktor vor die Wurzel schreiben und das n in die Wurzel hineinziehen und es so im Innern zu n² machen.
=lim(n->unendl)[(1/5)(sqrt(3n²/n²+n/n²)-(2/5)]
=lim(n->unendl)[(1/5)(sqrt(3+1/n)-(2/5)]
Die harmonische Folge 1/n konvergiert gegen 0, somit ergibt sich als Grenzwert:
=(1/5)(sqrt(3+0)-(2/5)=(1/5)(sqrt(3)-2)
oder -(1/5)(2-sqrt(3))
c) lim(2+t*sqrt(1+4/t²)
Grenzwert t von rechts gegen 0:
=> t ist positiv. Das ist wichtig, wenn wir t in die Wurzel hineinmultiplizieren wollen. Da t>0 ist, ist t=sqrt(t²) und es ergibt sich:
= lim(2+sqrt(t²)*sqrt(1+4/t²)
= lim(2+sqrt(t²+4))
= 2+sqrt(0²+4)=4
Grenzwert t von links gegen 0:
=> t ist negativ, also ist -t positiv, d.h. -t=sqrt(t²)
lim(2+t*sqrt(1+4/t²)=lim(2-(-t)*sqrt(1+4/t²)
=lim(2-sqrt(t²)*sqrt(1+4/t²)
=lim(2-sqrt(t²+4))
=2-sqrt(0²+4)=0
Es ist also wichtig, sich zu merken, dass man die Umformung x=sqrt(x²), die man oft in Gedanken macht, wenn man x in eine Wurzel hineinmulitplizieren will, nur erlaubt ist, wenn x>=0 ist.
Man hätte vermutlich b) und c) auch mit L'Hospital können, aber das wäre komplizierter geworden.
Ciao
Cosine |
noFEAR
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Juni, 2000 - 13:53: |
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Besten Dank für die gute Erklärung, hab's verstanden
mfG noFEAR |
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