| Autor |
Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Juni, 2000 - 20:23: | 
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Hi!
Wer kann mir bitte den Loesungsweg zu diesen beiden Aufgaben geben?
1. Welchen max.Flächeninhalt A kann ein gleichschenkliges Dreieck mit dem Umfang u=6cm annehmen?
2. Welchen max.Flächeninhalt A kann ein Dreieck mit der Grundlinie c und dem Umfang u annehmen?
Vielen vielen Dank |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juni, 2000 - 15:11: |
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Hi Anonym,
Vorerst meine Anerkennung zu Wahl des Titels "extreme Probleme";
ein sehr beziehungsreiches Wortspiel zum Themenbereich
Extremalprobleme !
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Deine beiden vorgelegten Probleme sind nicht halb so wild,
wie man meinen könnte
Die erste Aufgabe
als Resultat ergibt sich: das Dreieck, welches maximalen
Flächeninhalt besitzt, ist - wie wohl zu erwarten war-
das gleichseitige Dreieck.
Die Seitenlänge ist 2 cm , der Flächeninhalt A(max) = wurzel(3) cm^2
Herleitung
Die Basis des gleichschenkligen Dreiecks sei 2x ,
ein Schenkel habe die Länge y.
Dann gilt wegen der Umfangsbedingung:
2 x + 2 y = 6 oder x + y = 3 ; dies ist die sogenannte Nebenbedingung.
Mittels der Höhe h = wurzel (y^2 - x^2)
ergibt sich der Flächeninhalt A des Dreiecks:
A = x * h = x * wurzel (y^2 - x^2).
Wir bestimmen das Maximum des Quadrates Q von A ,nämlich:
Q = A ^ 2 = x^2 * (y^2 - x^2) = x ^ 2 * ( y + x ) * ( y - x )
Jetzt verwenden wir die Nebenbedingung und eliminieren y
Es kommt:
Q = Q ( x ) = x ^ 2 * 3 * (3 - x - x) = 3 * x ^ 2 * ( 3 - 2 * x )=
= 9 * x ^ 2 - 6 * x ^ 3
Jetzt leiten wir Q nach x ab:
Q ' ( x ) = 18 * x - 18 * x ^2
Da x von null verschieden ist, ergibt sich x = 1 als einzige Nullstelle
von Q ' ( x ) ;die zweite Ableitung ist ,wie man leicht im Kopf
nachrechnet, an dieser Stelle negativ , also liegt ein Maximum vor.
Es ergibt sich mit x = 1 das eingangs erwähnte Schlussresultat
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Die zweite Aufgabe.
Hier muss man etwas mehr nachdenken ,dafür aber weniger rechnen.
Soll die Fläche des Dreiecks ABC mit der festen Grundlinie c = AB
maximal werden, so muss die Höhe hc maximal sein. Dies ist
genau dann der Fall, wenn die Seiten a = BC und b = AC gleich lang sind,
d.h. wenn das Dreieck gleichschenklig ist.
Die Ortskurve der Ecke C für die aus der Umfangsbedingung
u = konst fliessende Bedingung
AC + BC = 2 * s = b + a = u -c
ist eine Ellipse mit den Brennpunkten A und B und der grossen Halbachse
s = ( u - c ) / 2.
(Ellipse als geometrischer Ort eines Punktes C, der von zwei festen Punkten
A , B konstante Abstandssumme hat)
Das Dreieck CAB hat den grössten Flächeninhalt, wenn C mit einem
Nebenscheitel der Ellipse zusammenfällt, also gleichschenklig ist.
Die Basishöhe stimmt dann mit der kleinen Halbachse t der Ellipse
überein;
diese kann aus der grossen Halbachse s und der linearen Exzentrizität c/2
( = halber Abstand der Brennpunkte A,B)
nach Pythagoras wie folgt berechnet werden
t = wurzel (s ^ 2 - ( c / 2 ) ^ 2 ) = wurzel (( u - c ) ^ 2 / 4 - c ^ 2 / 4 ) =
= 1 / 2 * wurzel (u ^ 2 - 2 * u * c )
Damit erhalten wir für den grösstmöglichen Flächeninhalt A den Wert:
A = c / 2 * t = c / 4 * wurzel ( u ^ 2 - 2 * u * c ) , mit u > 2 * c
Anmerkung
Du kannst die Lösung der Aufgabe auch ohne Benützung der Ellipse als Ortskurve nachvollziehen
Empfehlung: Fertige von der Disposition, welche das Extremum liefert,
eine Skizze an, und trage die Masszahlen aller benötigten Strecken ein
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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