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Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Juni, 2000 - 21:21: | 
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Hallo Leute!
Habe bald Prüfung in Mathe und habe keinen blassen Schimmer wie das gehen soll: Bitte HIILFE
Wenns geht mit genauem Lösungsweg
Aufgaben im Wortlaut des Buches
(1)
Einer Halbkugel(R) wird ein Drehzylinder eingeschrieben, dessen Basiskreismittelpunkt mit dem Kugelmittelpunkt zusammenfällt. Berechne die Maße und das Volumen jenes Zylinders, der das größte Volumen hat.
(2)
Einer Kugel(R) ist die volumsgrößte gerade Pyramide einzuschreiben, deren Grundfläche ein Regelmäßiges (a) Viereck (b) Sechseck ist! Berechne das Verhältnis der Rauminhalte der beiden Körper
Schon mal danke im Voraus, mir wäre echt geholfen wenn wer zurückschreibt!
Michi
michael.zeier@reflex.at |
Kai
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Juni, 2000 - 22:05: |
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(1) Tipp: Volumen des Drehzylinders in Abhängigkeit von der Höhe h berechnen, dann nach h maximieren.
(2) Tipp: Ein regelmäßiges Viereck ist ein Quadrat.
Der Abstand vom Mittelpunkt zu allen 5 Eckpunkten (Spitze und viermal Boden) ist gleich.
Wieder in Abhängigkeit von der Höhe h der Pyramide das Volumen der Pyramide berechnen und dann nach h maximieren.
Kai |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Juni, 2000 - 22:14: |
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Hallo Anonym!
Aufgabe 1:
Nehmen wir an, der Basiskreisradius hat den Radius x. (also R>0>x). Das Volumen dieses Zylinders ist wie immer Grundfläche * Höhe, also V(x)=pi*x^2*h
Das einzige Problem ist nun also, die Höhe dieses Zylinders zu bestimmen. Hierbei hilft -nach einer guten Skizze- der Satz des Pythagoras:
x^2+h^2=R^2 => h=sqrt(R^2-x^2)
Somit ergibt sich als Volumen:
V(x)=pi*x^2*sqrt(R^2-x^2) mit x aus [0..R]
Von dieser Funktion muss nun nur noch das Extremum ermittelt werden. Dies geht am schnellsten, wenn man es zu V(x)=pi*sqrt(R^2*x^4-x^6) umformt und dann nur den ganzrationalen Term unter der Wurzel betrachtet, da eine Wurzel dann maximal wird, wenn der Radikant maximal wird. (wegen der Monotonie der Wurzelfunktion). Um es abzukürzen: Das maximale Volumen wird erreicht, wenn der Basisradius x = sqrt(2/3) * R beträgt. (=(1/3)*sqrt(6)*R)
Aufgabe (2): Das Volumen von Pyramiden oder algemein aller spitzzulaufenden Körper ist 1/3*Grundfläche*Höhe. Da es eine gerade Pyramide sein soll, ist hier die Höhe eindeutig = R. Es muss nun also nur noch die Grundfläche = Fläche eines regelmäßigen (a) Vierecks (b) Sechsecks in Abhängigkeit des Radius R errechnen werden. Meines Wissens nach nennt man ein regelmäßiges Viereck manchmal auch Quadrat und der Radius R wäre also nur die Diagonale des Quadrats. Wenn a die Seitenlänge des Quadrats ist, sagt uns Pythagoras, dass a^2+a^2=R^2 => a^2=(1/2)*R^2
Für die Quadratfläche ergibt sich also a*a=a^2=(1/2)*R^2
Somit ist das Volumen der Pyramide aus Aufgabe 2(a):
V(Pyramide(a))=Grundfläche*Höhe
V(Pyramide(a))=(1/2)*R^2*R=1/2*R^3
Das Gesamtvolumen der Halbkugel ist die Hälfte des Kugelvolumens V(Kugel)=(4/3)*Pi*R^3, also nur
(2/3)*Pi*R^3
Das gesuchte Verhältnis ist nun
V(Halbkugel)/V(Pyramide(a))=(2/3)*Pi*R^3/(1/2*R^3)
=(4/3)*Pi
Aufgabenteil 2(b) geht genauso, nur dass die Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck ist, das man in 6 gleichseitige Dreiecke mit der Seitenlänge R zerlegen kann. Das müsstest Du alleine hinkriegen.
Falls ich irgendwo zu schnell war oder bei irgendwelchen Fragen, schreib einfach wieder!
Ciao
Cosine |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Juni, 2000 - 22:18: |
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Oops... Die Beiträge haben sich überschnitten.
Und meine Lösung zu Aufgabe 2 ist FALSCH!!!
Ich habe nämlich nur eine Halbkugel betrachtet...
(Habe mich gleich gewundert, warum keine Extremwertbildung notwendig war)
Also nochmal: Sorry, aber alles was ich zur (2) geschrieben habe, ist FALSCH!!!
Ciao
Cosine |
Anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Juni, 2000 - 22:40: |
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Danke für eure Hilfe! Werde mir das ganze mal durch den Kopf gehen lassen bzw. rechnen und mich dann mal melden obs geklappt hat. Auf jeden fall schon mal danke!
Michi |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Juni, 2000 - 13:48: |
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Hi Michi,
Hier die Lösung Deiner zweiten Aufgabe
Die beiden Fälle mit dem Quadrat einerseits und dem regulären Sechseck
andrerseits lassen sich sozusagen simultan lösen . Der Begriff "simultan"
tritt also nicht nur beim Schachspiel auf, sondern auch bei der
Lösungsstrategie von Mathematikaufgaben.
Wir arbeiten daher zuerst das Gemeinsame heraus und trennen
die Fälle a) und b) erst später voneinander.
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Die Grundfläche einer solchen Pyramide liegt in einer Ebene, welche vom Mittelpunkt M der Kugel den Abstand u habe ( 0 < u < R ; R: Kugelradius)
Diese Ebene schneidet die Kugel in einem Kleinkreis k,
Radius r, Mittelpunkt N ; es gilt nach Pythagoras:
r ^ 2 = R ^ 2 - u ^ 2. (Formel I)
Die Variable r gehört dem Intervall 0 < = r < = R an.
Die Spitze S der Pyramide ist der von N weiter entfernte Durchstosspunkt der Geraden NM mit der Kugel.
Die Höhe der Pyramide ist H = R + u ( nicht R - u ! )
Bezeichnen wir mit G den Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide,
so ergibt sich als Volumen V:
V = 1/3 * G * H = 1/3 * G * (R+u) = 1/3*G*(R+ wurzel(R^2-r^2) (Formel II)
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Szenenwechsel
Wir lösen zwischendurch eine Extremalaufgabe und zwar eine solche,
welche uns noch dienlich sein wird
Gegeben sei die Funktion in r:
f ( r ) = R * r^2 + r^2 * wurzel ( R^2 - r ^2 ) , 0 < = r < = R ,
R ist eine gegebene Konstante
Für welchen Wert von r wir f ( r ) maximal ?
Wir leiten f ( r ) nach r ab ( Produktregel und Kettenregel ) und erhalten:
f ' ( r ) = 2Rr + 2r wurzel (R^2 - r^2) + r^2 * (- 2 r ) / (2*wurzel(R^2 - r^2))
Setzt man dies null , schafft die Nenner weg und hebt r weg, so erhält
man die Gleichung für r :
2 R * wurzel ( R^2 - r ^2 ) = 3 * r^2 - 2 * R ^ 2
Durch Quadrieren und weitere Vereinfachung findet man schliesslich
r ^ 2 = 8 / 9 * R^2 und als positive Lösung für r:
r = r * = 1 / 3 * wurzel (8) * R;
dass ein Maximum vorliegt , erkennt man am Vorzeichenwechsel
von f ' ( r ) bei r* von plus zu minus.
Wir berechnen f (max) = f ( r* ) = f* = 8/9 * R^2 * 4/3*R = 32 / 27 * R^3
Vergleiche diesen Wert f* auch mit den Randwerten f(0) = 0 und
f ( R ) = R ^ 3 ; beide Werte sind kleiner als f*, sodass f* das
absolute Maximum von f ( r ) im angegebenen Intervall darstellt.
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Wir nehmen den Faden der Ariadne bei den Pyramiden wieder auf.
a) Die Grundfläche ist ein Quadrat
Da der Umkreisradius dieses Quadrates gerade r ist, so erhält man für die Quadratseite a den Wert a = r* wurzel (2) (mache eine Skizze!)
Der Flächeninhalt der Grundfläche ist G = a ^ 2 = 2 * r ^2
Das Volumen der Pyramide ist nach Formel (II):
V1 = V1 ( r ) = 2/3 * r ^2 * (R+ wurzel (R^2-r^2) ;
mit der im Zwischenspiel eingeführten Funktion f( r )
lässt sich dies so darstellen:
V1 = 2 / 3* f ( r )
Wir haben gute Vorarbeit geleistet .V1( r ) und f ( r ) werden beide
maximal für r = r* = 1/3*wurzel(8)*R (siehe oben) und zwar gilt:
V1(max) =V1* = 2 /3 * f (max) = 64 / 81 * R ^ 3.
Verhältnis max. Pyramidenvolumen : Kugelvolumen = 16 / (27 Pi) = 0,188
(letzteres angenähert)
b) De Grundfläche ist ein reguläres Sechseck, welches dem Kreis k
mit Radius r eingeschrieben ist. Die Fläche G besteht aus 6
gleichseitigen Dreiecken der Seitenlänge r ,
somit gilt G = 6 * r ^ 2 / 4 * wurzel(3) = 3 / 2 * wurzel(3) * r ^ 2
Für das Pyramidenvolumen V2 kommt wiederum mittels f ( r ) :
V2 = ½ * wurzel(3)* f ( r ).
Dies wird ebenfalls für r = r* = 1/3 * wurzel(8) * R maximal.
Das grösste Volumen V(2)(max) beträgt:
V2* = 3 /2 * wurzel (3) * f(max) = 16 / 27 wurzel(3) * R ^ 3
Das Verhältnis max Pyramidenvolumen : Kugelvolumen
beträgt hier : 4* wurzel(3) / (9*Pi) , (angenähert = 0.245)
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Viel Erfolg beim Studium dieser langen Geschichte wünscht Dir
H.R.M.
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Anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juni, 2000 - 12:56: |
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boah! dieses beispiel is ja wirklich "EXTREM"!
danke für die hilfe, selber wär ich nie draufgekommen
mfg michi |
Homer
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Juni, 2000 - 18:48: |
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Hi Ihr da draußen!
Alles fit? Ich wünsche auf jeden Fall mal jedem viel Glück bei seiner Prüfung. Haltet die Ohren steif und lasst die Handy´s zu Hause ;-)!!!! |
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