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Beitrag |
    
Wolfgang Gross (Wolli)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Juni, 2000 - 22:35: | 
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Wir schreiben in 4 Tagen eine Klausur über Polynomendivision, und ich kapiere einfach nicht, wie die einzelnen Schritte zur Lösung solcher Aufgaben aussehen. Kann mir jemand Schritt für Schritt erklären, wie das alles zusammenhängt und wie ich im Einzelnen vorgehen muss, damit ich endlich die Sache kapiere? Hier eine unserer Beispielaufgaben, mit denen ich leider nichts anfangen kann: f(x) = xhoch4 - 5xhoch2 + 4 (Lösung: x01=2; x02= -2; x03= 1; x04= -1). Aber wie kommt man z.B. zu dieser Lösung? Ich möchte einfach nur die Rechenschritte kapieren... |
Zorro
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Juni, 2000 - 09:35: |
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Hi Wolli, diese Beispielaufgabe paßt allerdings nicht zu deiner Frage. Diese Aufgabe würde man nicht durch Polynomdivision lösen, sondern durch Substitution.
Man setzt x2= z
f(z) = z2 - 5z + 4
Nullstellen durch pq-Formel
z1,2= 2,5 +/- 1,5
z1= 4
z2= 1
Durch Rücksubstitution
x1,2,3,4 = +/- Wurzel(z1,2)
x1 = 2
x2 = -2
x3 = 1
x4 = -1
Hast Du vielleicht noch ein Beipiel für eine Polynomdivision, das du nicht verstanden hast?
Gruß Zorro |
SKwarda
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. September, 2000 - 12:52: |
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Hallo, mein Name ist Stefanie und ich habe mords schieß vor meiner Mathe Arbeit, die ich am Freitag schreibe! Ich kann absolut keine Polynomendivision mehr! Das ist aber ganz wichtig, dass ich das bis FR. kann! Kann mir das jemand erklären?? Ich wäre dem jenigen echt dankbar!
Gruß Stefanie |
Andre
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. September, 2000 - 13:41: |
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Ist eigentlich recht einfach und funktioniert
genau wie die normale schriftliche Division.
Man hat zwei Polynome gegeben, P1 und P2
Am besten werde ich es mal an einem praktischen
Beispiel erklaeren.
P1(x) = 2x^4 - 5x^3 - 28x^2 + 15x
und
P2(x) = x^2 - 5x
So, nun wollen wir das Ergebnis von P1/P2
berechnen.
Dazu schreiben wir (wie auch in der Schulmethode)
die beiden Terme fuer die Division auf
2x^4 - 5x^3 - 28x^2 + 15x = (x^2 -5x) * ( ? )
In dem Fragezeichen werden wir nun Stueck fuer
Stueck das Ergebnis zusammensetzen.
Zuerst muessen wir ermitteln, mit wie viel wir
(x^2 - 5x) multiplizieren muessen, damit die
hoechste Potenz vom Wert her genausogross wird
wie die hoechste Potenz von P1. In diesem Fall,
mit was muss ich multiplizieren, damit 2x^4 = x^2
ist. Dies ist natuerlich 2x^2. Damit haben wir
den ersten Term gefunden und koennen ihn oben
beim Fragezeichen eintragen und dann natuerlich
das jeweilige Vielfache von P2 also
(2x^2) * (x^2 - 5x) = 2x^4 - 10x^3 abziehen.
2x^4 - 5x^3 - 28x^2 + 15x = (x^2 - 5x) * (2x^2 + ...
-(2x^4 - 10x^3) (Aus -- wird + !)
--------------------------
5x^3 - 28x^2 + 15x
Nun haben wir einen neuen Term (den bisherigen
Rest) mit dem wir das gleiche machen wie vorher.
Wir sehen nach, wie oft x^2 in 5x^3 passt.
Dies ist natuerlich 5x mal so oft. Damit koennen
wir als naechstes Ergebnis diese 5x addieren und
5x * (x^2 - 5x) = 5x^3 - 25x^2 wieder abziehen.
Wir hatten als Rest
5x^3 - 28x^2 + 15x
-(5x^3 - 25x^2)
---------------------
-3x^2 + 15x
Dies ist nun der neue Rest und damit machen wir
das gleiche nochmal. Wie oft passt x^2 in -3x^2?
Natuerlich -3 mal, damit ist unser letztes
Ergebnis -3 und wir machen die Probe, dass dann
wirklich kein Rest mehr ueberbleibt indem wir
wieder die -3 mit (x^2 -5x) multiplizieren und
vom Rest abziehen
Alter Rest
-3x^2 + 15x
-(-3x^2 + 15x)
----------------
0
Damit ist das Ergebnis dieser Polynomdivision
2x^4 - 5x^3 - 28x^2 + 15x = (x^2 - 5x) * (2x^2 + 5x - 3)
Natuerlich wuerdest du jetzt alle Schritte direkt
untereinander ausfuehren und das Ergebnis rechts
waehrenddessen immer Stueck fuer Stueck ergaenzen.
Was du vielleicht gemerkt hast, ist der Trick an
der Sache zu versuchen den Term mit der hoechsten
Potenz durch abziehen auf 0 zu bringen. Damit
verringert sich die hoechste Potenz mit jedem
Schritt jeweils mindestens um 1.
Wenn man sich die "normale" Division im Vergleich
ansieht, ist es genau das gleiche, du siehst nach
wie oft Wert 2 in den Wert 1 passt und ziehst
diese ab.
Unter diesem Gesichtspunkt denk mal nach, wie du
diese Division ausfuehrst :
805/23
80 5 = 23 * 3
-(3*23=69)
-------
11 5
Nun musst du sehen wie oft die 23 in die 115 passt
und so weiter...
Natuerlich waere es moeglich, das die Division
nicht glatt aufgeht (obwohl es bei euch wohl
so sein wird), das ist dann vergleichbar mit
einem Bruch, dessen Dezimaldarstellung unendlich
lang ist, genau dies kann hierbei auch passieren,
so das das Ergebnispolynom unendlich lang wird.)
Aber ich denke darum brauchst du dir keine
Gedanken machen.
Ich hoffe das hat dir etwas geholfen und viel
Glueck am Freitag mit deiner Arbeit!
Andre |
Futurestar (Futurestar)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. September, 2000 - 21:06: |
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Hallo erstmal
um die Polynomdivision durchführen zu können musst du als erstes eine
nullstelle erraten. das machst Du indem du für x ein wert einsetzt und wenn
du das dann ausrechnest must 0 rauskommen. hier ein beispiel
f(x)=x^3+2*x^2-4*x-8
jetzt suchst du den x wert der Null ergibts Hier z.B. x=2
Das ist deine erste nullstelle
Jetzt kannst du die polynomdivision durchführen:
x^3+2*x^2-4*x-8 : (x-2) =
das ist deine rechnung die du jetzt durchführen musst
du vbersuchst als erstes das x^3 wegzubekommen ii dem du rechnest
x^3+2*x^2-4*x-8 : (x-2) = x^2+4*x+4
- (x^3-2*x^2)
--------------
4*x^2-4*x
- (4*x^2-8*x)
----------------
4*x-8
- (4*x-8)
-----------
0
Das sit die Poynomdivision jetzt kannstg du einfach mit der p,q formel
weitermachen |
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