| Autor |
Beitrag |
    
claudia
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Mai, 2000 - 22:32: | 
|
Vielen Dank im voraus!
Folgende Aufgaben:
http://www.toffel.de/abi-aufgaben.gif
Grüße Claudia |
H.R.Moser,megameth.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Mai, 2000 - 12:25: |
|
Hi Claudia,
Für die Aufgabe 20 gibt es eine elegante Lösung ,wenn wir
eine unendliche geometrische Reihe verwenden.
Dividiert man beide Seiten des Ansatzes in der Aufgabenstellung durch
(x ^ 2 -1) , so erhält man rechterhand die Funktion
f(x) = 1 / (x ^ 2 - 2 ).
Wir formen gehörig um und erhalten:
f(x) = (-1 / 2 ) / ( 1 - x ^2 / 2 ) .
Das sieht aus wie die fertig ausgerechnete Summe S der unendlichen geometrischen Reihe mit dem Anfangslied a = -1 / 2 und dem Quotienten
q = x ^2 / 2 , gilt ja doch im Falle der Konvergenz:
S = a / (1 - q )
Die Konvergenz ist gesichert , wenn der absolute Betrag des Quotienten q kleiner als 1 ist, d.h. wenn im vorliegenden Fall x ^ 2 < 2 gilt.
Wir haben somit die Konvergenzbedingung :
x muss zwischen minus wurzel(2) und plus wurzel(2) liegen
( Konvergenzradius r = wurzel(2) ; dieser Wert fällt gerade mit einer
Nullstelle der quadratischen Funktion x ^ 2 - 2 zusammen )
Und nun gilt es, diese geometrische Reihe mit den genannten Daten
festzulegen; sie lautet :
- 1 / 2 - x ^ 2 / 4 - x ^ 4 / 8 - x ^ 6 / 16 - x ^ 8 / 32 ....
oder mit dem Summenzeichen geschrieben
(Summationsindex k läuft von 1 bis unendlich):
sum(- x ^ (k - 1) / 2 ^ k ) oder wie in der Aufgabenstellung verlangt mit dem Index n , der von null bis unendlich geht.
sum(- x ^ (2n) / 2 ^ ( n + 1 )
Dieses ist die gesuchte unendliche Reihe auf der linken Seite Deiner Aufgabe !
Bravo!
Des weitern kann die Aufgabe auch mit einem sogenannten Koeffizientenvergleich gelöst werden.
Das soll für heute genügen
Mit freundlichen Grüssen
H.R. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Juni, 2000 - 11:04: |
|
Hi Claudia
Wenn auch die Frist für die Lösung Deiner Aufgabe Nr.21 abgelaufen sein sollte, möchte ich doch eine erste Lösungsart ins Board stellen, zu Nutz und Frommen interessierter Leser.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Das Resultat sei vorweggenommen :
Die Taylorentwicklung der Tangensfunktion f(x) = tan x
mit Zentrum x = 0 beginnt so:
tan x = x + 1 / 3 x ^ 3 + 2 / 15 x ^ 5 + 17 / 315 x ^ 7 + 62 / 2835 x ^ 9 +...
Diese Entwicklung gilt für x (absolut) < Pi / 2.
Dass die Koeffizienten der geraden Potenzen von x null sind ,
steht a priori fest, da tan(-x) = - tan x gilt, also eine ungerade
Funktion vorliegt.
Für den Beweis dieser Entwicklung bis und mit x ^ 7 verwenden wir
fürs erste die Cauchysche Multiplikationsregel, die wie folgt lautet.
Sind die Reihen sum (an) und sum (bn)
(der Summationsindex n läuft je von 0 bis unendlich)
absolut konvergent und S , T ihre Summen, so ist auch die Reihe
sum (cn), [n = 0 bis unendlich] mit dem allgemeinen Glied
cn = a0 * bn + a1* b(n-1) + a2 * b(n-2) + ... + an * b0 (GL I*)
absolut konvergent , und S * T ist ihre Summe.
Wir schreiben :
sin x = tan x * cos x , d h. als C-Reihe mit den Koeffizienten cn
verwenden wir die bekannte Taylorentwicklung der Sinusfunktion,
als B-Reihe mit den Koeffizienten bn die gesuchte Tangensreihe
und als A-Reihe mit den Koeffizienten an die bekannte Kosinusreihe.
Wir benützen die bekannten Beziehungen:
a0 = 1 , a1 = 0 , a2 = -1 / 2!, a3 = 0 , a4 = 1 / 4! , a5 = 0 , a6 = - 1 / 6! , a7 = 0,
c0 = 0 , c1 = 1 , c2 = 0 , c3 = -1 / 3!, c4 = 0 , c5 = 1 / 5! , c6 = 0 , c7 = -1 / 7!
Gesucht werden die Koeffizienten b1 , b3 , b5 , b7 (im Wissen darum,
dass b0, b2, b4, b6 alle verschwinden )
Wir setzen nun wiederholt (Gl I*) ein und erhalten die gesuchten
Koeffizienten rekursiv.
1..Schritt:
n =1: 1 = c1 = a0 * b1 + a1 * b0 =1* b1+0 * 0, daraus b1 = 1.
2. Schritt:
n = 3 : -1/3! = c3 = a0 * b3 + a1 * b2 + a2 * b1 + a3* b0 =
= 1* b3 + +0 * 0 -1/2 * 1 +0 * 0 , daraus b3 = 1/3
3.Schritt
n = 5 :
1/5! = c5 = a0*b5 + a1*b4 + a2*b3 + a3*b2 + a4*b1 + a5*b0
=1 * b5 +0 * 0 -1 / 2*1 /3! + 0 * 0 -1 /4!*1 + 0*0 ,daraus b5 = 2 /15
4.Schritt
n = 7 :
-1/7! =c7 =a0*b7 + a1*b6 +a2*b5 +a3*b4 +a4*b3 +a5*b2 +a6*b1+a7*b0
= 1*b7+0*0-1/2*2/15+0*0+1/4!*1/3+0*0-1/7!*1+0*0,daraus b7=17 / 315
Damit sind die gesuchten Koeffizienten ermittelt.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüssen
H.R.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° |
|
