| Autor |
Beitrag |
    
Simone
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Mai, 2000 - 18:02: | 
|
Hallo, wie kann ich denn folgende Grenzwerte bestimmen?
lim x(Wurzel [1+x hoch 2] - 2) für x gegen unendlich
lim [n*(x hoch n+2)- (n+1)*(x hoch n+1) + x]
-----------------------------------------
(1-x) hoch 2
für x gegen 1
Danke, ich komme echt nicht klar!!! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Mai, 2000 - 12:52: |
|
Hi Simone,
Bei Deinem ersten Beispiel existiert kein Grenzwert, die Folge
divergiert gegen unendlich.
Hingegen konvergiert die zweite Folge
ihr Grenzwert ist g = n * (n + 1) / 2.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Herleitung der Resultate
A] Beim ersten Beispiel führen wir die Substitution x = 1 / t durch.
Wenn dann x gegen unendlich strebt , geht t gegen null.
Setzen wir im gegebenen Term 1 / t an Stelle von x ein,
so bekommen wir eine Funktion T von t, nämlich:
T(t) = 1 / t * ( wurzel (1 + 1 / t ^2 ) - 2 )) = (wurzel (1 + 1 / t ^ 2) -2) / t.
Den Bruch erweitern wir mit t ; wir bekommen:
T(t) = (wurzel ( t ^ 2 +1 ) - 2t ) ) / t ^ 2
( Achtung: der Radikand der Wurzel wurde beim Erweitern
mit t ^ 2 multipliziert ! )
Nun sieht man sofort, dass für t gegen null T(t) gegen unendlich strebt, weil der Zähler dabei gegen 1 , der Nenner hingegen nach null strebt.
B] Im zweiten Beispiel wenden wir die Regel von de L'Hospital-Bernoulli an.
Die Zählerfunktion werde mit f(x), die Nennerfunktion mit g(x) bezeichnet.
Also gilt f(x) = n * x ^ ( n + 2) - ( n + 1 ) * x ^ (n + 1 ) + x
g(x) = ( 1 - x ) ^ 2
Es ist der Grenzwert des Quotienten f(x) / g(x) für x ->1 zu ermitteln.
Würde man x = 1 direkt einsetzen , erhielte man die sogenannte unbestimmte Form 0 / 0 ; dies ist ein deutlicher Hinweis dafür ,die Regel von
de L'Hospital-Bernoulli einzusetzen.
Es wird sich zeigen, dass wir diese Regel sogar zweimal anwenden müssen,
um den Grenzwert g für x -> 1 zu erhalten.
Wir bereiten alles für den Einsatz vor, im Wissen darum, dass wir Zähler und Nenner einzeln ableiten müssen und nicht etwa die Quotientenregel.gebrauchen dürfen.
Es ergeben sich der Reihe nach:
f ' ( x ) = n * ( n + 2 ) * x ^ ( n + 1 ) - ( n + 1 ) ^2 * x ^ n + x ,
daraus f ' ( 1 ) = 0
g' ( x ) = - 2 * ( 1 - x ) , daraus g ' ( 1 ) = 0
Wegen f ' ( 1 ) / g ' ( 1 ) = " 0 / 0 " , wenden wir dieselbe Regel nochmals an
f ' ' (x ) = n * ( n + 2 )* ( n +1 ) * x ^ n - (n+1) ^ 2 * n * x ^ ( n - 1 )
g ' ' ( x ) = 2
f ' '(1) = n* ( n+ 2 ) * ( n + 1 ) - ( n + 1 ) ^ 2 * n = n * ( n + 1 )
g ' ' ( 1 ) = 2
Schluss: Grenzwert nach de L' Hospital-Bernoulli :
g = f ' ' (1) / g ' ' (1) = n * ( n + 1 ) / 2.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüssen
H.R.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° |
Tanja
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Juni, 2000 - 20:56: |
|
Hallo,
ich kenne die Regel von de L´Hospital nicht, soll aber danach folgendes ausrechnen:
lim [(2x - sinx) geteilt durch sinx] für x gegen 0
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand einen Tip, bzw. die Regel geben würde. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Juni, 2000 - 15:10: |
|
Hi Tanja,
Ich führe Dir den Gebrauch der Regel von de L'Hospital-Bernoulli an Deinem Beispiel vor.
Die Zählerfunktion werde mit f(x),die Nennerfunktion mit g(x) bezeichnet.
Also gilt
f(x) = 2 x - sin x
g(x) = sin x
Es ist der Grenzwert des Quotienten f(x) / g(x) für x ->0 zu ermitteln.
Würde man x = 0 direkt einsetzen , erhielte man die sogenannte unbestimmte
Form 0 / 0 ; dies ist ein deutlicher Hinweis dafür, die Regel von
de L'Hospital-Bernoulli einzusetzen.
Diese funktioniert so: wir leiten Zähler und Nenner einzeln nach x ab
und erhalten
f '(x) = 2 - cos x
g' (x) = cos x
Jetzt bilden wir den Bruch b(x) = f ' (x) / g ' ( x ) = (2 - cos x) / cos x.
( Die Bezeichnung b(x) wurde zu Ehren des Schweizer Mathematikers
Johann Bernoulli gewählt, der die Regel als Erster aufgestellt hat ,
der Marquis de L'Hospital hat sie als erster veröffentlicht !)
Den gesuchten Grenzwert bekommst Du , indem Du den Grenzwert von
b(x) im Sinne von x -> null bestimmst. Du erkennst leicht,
dass für x gegen null b(x) gegen ( 2 -1 ) / 1 = 1 strebt.
Wäre der letzte Term nach erfolgtem Grenzübergang wiederum von der
Form 0 / 0 , müsste man die Regel nochmals anwenden.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.M. |
jürgen
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Juni, 2000 - 08:09: |
|
hallo, ich soll die erste und die zweite Regel von de l'Hospital erläutern und beweisen.Kann mir jemand helfen und auch Literatur dazu angeben? |
Bodo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Juni, 2000 - 22:06: |
|
1) schau hier:
l'Hospital
2)
Geh in das Online-Mathebuch http://www.zahlreich.de/desktop_mathe da findest Du was
darüber.
Zugang: Du brauchst ein Benutzerkonto (Link ganz unten) . Wenn Du dies hast, dann schreibe
eine mail an mathebuch@zahlreich.de (Im Betreff bitte den Benutzernamen Deines
Benutzerkontos eintragen, mail kann leer sein).
Das ganze dauert höchstens 2-3 Minuten.
Gib in den Index des Mathebuchs (Suchmaschine) den gesuchten Begriff (z.B. hospital) ein.
Bodo |
jürgen meyer (Jüme)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Juli, 2000 - 17:36: |
|
regeln von l'hospital |
Bodo
| | Veröffentlicht am Samstag, den 08. Juli, 2000 - 20:23: |
|
Jürgen, ist das ein Test oder hast Du eine Frage zu l'Hospital ? |
RÄUBER
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Februar, 2001 - 14:34: |
|
Hey,
ich brauche eine verständliche Herleitung, also den kompletten Beweis von der bernoulli- l`hospitalschen regel!!!!!! Er sollte möglichst nachvollziebar sein!!!
DANKE FS |
Karol
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Februar, 2001 - 15:15: |
|
Wer kann das ableiten
lnx/sinx
Ich weiß daß es mit Quotientenregel geht aber wie? |
Heiko (Heiko)
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Februar, 2001 - 16:30: |
|
Moin,
die Quotientenregel heißßt ja [f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x)]/g(x)^2.
Wenn du jetzt f(x):= ln x setzt und g(x):= sin x müsste folgendes herauskommen. Dabei solltest du natürlich wissen, dass (sin x)'=cos x und (ln x)'=1/x ist...
(1/(x*sin x)) - (cos x * ln x)/(sin x)^2
Sag bescheid, falls das zu kurz ist.
Heiko (basshoshi) |
|
