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Dritte Wurzel aus (-1) = ???

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klasse 11 » Algebra/Arithmetik » Dritte Wurzel aus (-1) = ??? « Zurück Vor »

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Cosine (Cosine)
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Veröffentlicht am Samstag, den 27. Mai, 2000 - 14:09:   Beitrag drucken

Moin, Moin, ich bin's mal wieder!
Die absolute Mehrheit der Mathe-Lehrer (und Innen) an unserer Schule ist der Meinung, dass die 3.Wurzel (oder allgemein die n-te Wurzel) nur für positive Zahlen oder Null definiert ist und deshalb auch immer positiv oder Null ist.
Das hieße also die 3.Wurzel von (-1) wäre nicht definiert. Die Erklärung dafür sah ungefähr so aus:
angenommen, die 3.Wurzel aus (-1) sei definiert, dann wäre also sie (-1)^(1/3)
Den Bruch erweitern wir mit 2 und erhalten:
(-1)^(1/3)=(-1)^(2/6)
=> Das ist also die sechste Wurzel aus (-1)^2 und das ist natürlich Eins, da (-1)^2=(-1)*(-1)=(+1) ist und die 6.Wurzel davon natürlich immer noch Plus Eins.
Dann wäre also die 3.Wurzel von (-1)=(+1) und (+1)^3=(-1)
Und da jeder weiß, dass (-1) nicht dasselbe ist wie (+1), ist die 3.Wurzel für negative Zahlen nicht def.
Das hat mich solange überzeugt, bis ich für 6 Wochen in Ami-Land war und dort gelernt habe, dass die "cube-root" die Umkehrfunktion von x^3 ist und dass "every real numer" eine "cube-root" hat, und die Lehrer, die ich da gefragt habe, waren der selben Meinung:
Wenn n ungerade ist, dann ist die Definitionsmenge der n-ten Wurzel IR...
Nun bin ich ziemlich konfusiert und habe mich eben damit zufrieden gegeben, dass es eine "amerikanische 3.Wurzel" und eine "deutsche 3.Wurzel" gibt, aber irgendwie überzeugt mich das nicht so ganz...
Kann mir irgendein(e) studierte(r) Mathematiker(in) (am besten wäre natürlich jemand mit Auslandserfahrung) oder sonstirgendjemand etwas zu dem Thema erzählen?
Vielen Dank
Cosine
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Fern
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Veröffentlicht am Samstag, den 27. Mai, 2000 - 14:37:   Beitrag drucken

Hallo Cosine,
Ich bin zwar kein studierter Mathematiker, habe aber eine Meinung zu dritter Wurzel(-1).
Sie ist eindeutig : -1.
(Wir beschränken uns hier auf reelle Zahlen und schließen komplexe Zahlen aus).

Weil (-1)(-1)(-1) = -1

Der Denkfehler in deiner obigen Begründung liegt im Resultat der sechsten Wurzel(1).
Dies ist nämlich (wieder nur im Reellen): 1 und -1, also 2 Werte.

Weil: 1*1*1*1*1*1=1
aber auch
(-1)*(-1)*(-1)*(-1)*(-1)*(-1)= 1
=================
Lässt man auch komplexe Lösungen zu, so hat jede 3. Wurzel drei Lösungen und jede 6. Wurzel 6 Lösungen. (Jede n-te Wurzel n Lösungen).
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Cosine (Cosine)
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Veröffentlicht am Samstag, den 27. Mai, 2000 - 18:45:   Beitrag drucken

Moment!
Wie Du schon gesagt hast, lassen wir die komplexen Zahlen außen vor. Nehmen wir nur die reelen Zahlen:
Die Gleichung x^6=1 hat für x 2 Lösungen: x=1 und x=-1. Da würde ich Dir zustimmen, aber die 6.Wurzel aus 1 ist eindeutig als die postive Lösung der Gleichung x^6=1, also als +1 definiert.
Sonst wäre ja auch die Zuordnung
x -> 6.Wurzel aus x
nicht eindeutig, also keine Funktion...
Anderes Argument: Wenn die 6.Wurzel einer positiven Zahl nicht eindeutig ist, weil sie 2 Werte hat, dann müsste ja die 2.Wurzel ebenfalls zwei Werte haben, d.h. die Gleichung
y=Wrzl(1-x^2) wäre der volle Einheitskreis und nicht nur der obere Halbkreis...
Das erscheint mir nicht sehr einleuchtend.

Ich würde sagen, die nte Wurzel einer positiven Zahl R ist eindeutig positiv, nämlich die positive Lösung der Gleichung x^n = R

Ich lasse mich aber auch gerne mit weiteren Argumenten vom Gegenteil überzeugen...
Viele Grüße
Cosine
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Sternenfuchs (Sternenfuchs)
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Veröffentlicht am Samstag, den 27. Mai, 2000 - 19:15:   Beitrag drucken

Wenn du schreibst y=sqrt(1-x^2) dann sind damit die positiven werte gemeint, weil ein + vor der Wurzel steht. wenn du beide Ergebnisse gelten lassen willst müsstet du y=±sqrt(1-x^2) schreiben
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SpockGeiger (Spockgeiger)
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Veröffentlicht am Samstag, den 27. Mai, 2000 - 19:20:   Beitrag drucken

Hallo

Das mit den Wurzeln ist meinen bisheringen Erfahrungen definitionssache.

Es gibt mehrere Angehensweisen:

Die allgemeinste ist, dass man jede(!) Loesung der Gleichung x^3+1=0 als Wurzel bezeichnet, dabei ist die Zuoordnung keinesfalls eine Funktion.

zweite Moeglichkeit: Potenzieren und Wurzel ziehen beschraenkt man auf positiv nach positiv, in dem Fall hat deine Gleichung keine Loesung.

dritte Moeglichkeit: Speziell fuer ungerade Exponenten definiert man die Zuordnung als die Loesung in R, dann waere es wiederum eindeutig, und in Deinem Fall -1.

Bin mal gespannt, was fuer Kommentare noch kommen.

viele Gruesse
SpockGeiger
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Fern
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Veröffentlicht am Samstag, den 27. Mai, 2000 - 20:06:   Beitrag drucken

Hi Cosine nochmal,
Ich hätte mich als Nichtmathematiker nicht aufs Glatteis führen lassen sollen.
Streng mathematisch ist die nteWurzel tatsächlich nur für nichtnegative Werte definiert und ist immer nichtnegativ.
Es ist aber durchaus üblich, für die Lösung der Gleichung x³=-6 zu schreiben: x=3.Wurzel(-6).

Auch bei der Lösungsformel für quadratische Bestimmungsgleichungen schreibt man ja die Diskriminante in Form einer Wurzel und lässt negative Resultate zu.

In einem meiner Mathebücher steht:
Radizieren und Potenzieren sind dann Umkehrungen voneinander, solange man im Bereich positiver Zahlen bleibt.

Mathematikermeinungen scheinen aber darin auseinander zu gehen:
In einem anderen meiner Bücher (Ausgabe 1992) steht:
Bei ungeradem n und negativem a definiert man
nteWurzel(a)=x
als diejenige Zahl x, die xn=a erfüllt. Z.B. ³Wurzel(-8)= -2



Na vielleicht meldet sich hier noch ein Theoretiker zum Thema.
Gruß, Fern
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ruediger
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Mai, 2000 - 07:32:   Beitrag drucken

Hi zusammen, ich habe zwar unser Lieblingsfach studiert, dabei aber
eine so lange Diskussion um des Kaisers Bart nicht geübt.
Natürlich hat SpockGeiger recht (s.o.).
Ich kann jedoch kaum glauben, dass an einer Schule Menschen
Mathe unterrichten, die wie oben argumentieren.
Da steht im Prinzip:
(f sei 3.Wurzel, g sei 2.Wurzel,also g(hoch-1)(x) =x*x )
f = f°g°g(hoch -1)
Da g nur für positive Zahlen definiert ist, ist es auch f.
OH GRAUS !!!!!
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Cosine (Cosine)
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Veröffentlicht am Montag, den 05. Juni, 2000 - 22:20:   Beitrag drucken

Hallo, ruediger!
Ist ja nett, dass Du mir nicht glauben willst, dass es meine Mathe-Lehrer und Innen gibt, aber so ganz ist mir nicht klar, wo der Fehler in deren Beweisführung ist.
Denn: Ich gehe aus von dritte Wurzel aus (-1) (als Funktion) exisitiert. Dann mache ich nur erlaubte Umformungen und erhalte dann (-1)=(+1),was eindeutig falsch ist. Das bedeutet doch, dass entweder die Ausgangsvoraussetzung oder irgendein Schritt falsch ist.
Also, an welcher Stelle steckt denn jetzt ganz genau der Fehler???
Cosine
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Zaph
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Veröffentlicht am Montag, den 05. Juni, 2000 - 23:25:   Beitrag drucken

Falls ich mich einmischen darf: Natürlich kann man die dritte Wurzel auch füre negative Zahlen definieren. Nur muss man sich im klaren sein, dass dann eventuell liebgewordene Gesetze, wie abc = (ab)c nicht mehr gelten.
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Cosine (Cosine)
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Veröffentlicht am Montag, den 05. Juni, 2000 - 23:34:   Beitrag drucken

Aha, danke Zaph!
Das war mal eine Antwort, mit der ich was anfangen konnte.
Vielen Dank!
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Lsdxtc (Lsdxtc)
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Veröffentlicht am Montag, den 11. September, 2000 - 12:53:   Beitrag drucken

Die einzige Definition für Wurzeln die ich momentan kenne:

Die Wurzel aus a ist diejenige positive Zahl b, die mit sich selbst multipliziert a ergibt.
Daraus folgt: Die Wurzel aus a ist b, wenn b>=0
Die Wurzel aus a ist -b,wenn b<0.
Diese Definiton zeigt auch auf, da b^2 niemals negativ sein kann, das die Wurzel nur für positive Zahlen definiert ist.
Wie es bei höheren Wurzel aussieht ist mir momentan nicht klar. Allerdings kann ich mich schwach an einen "Beweis" erinnern, das -8=8 ist.
Der Lapsus hierbei liegt in einer nicht konformen Umformung. Wenn jemand dieses Problem kennt, so kann er daraus vielleicht weitere Rückschlüsse ziehen.
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Georg
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Veröffentlicht am Montag, den 11. September, 2000 - 13:27:   Beitrag drucken

Daraus folgt: Die Wurzel aus a ist b, wenn b>=0
Die Wurzel aus a ist -b,wenn b<0.

Dümmer gehts nicht mehr.
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Cosine (Cosine)
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Veröffentlicht am Montag, den 11. September, 2000 - 22:30:   Beitrag drucken

Hi Georg!
Falls Du mit Deinem Beitrag aussagen wolltest, dass die von Dir zitierte Stelle von Leuten, die nicht ganz genau hinsehen, als irreführend angesehen werden könnte, dann stimme ich Dir zu.

Ich fände es trotzdem schöner, wenn man versucht, das "Klima" einigermaßen freundlich zu halten, indem man solche Aussagen etwas anders formuliert, wenn Du weißt, was ich meine. Auch ich halte mich nicht immer daran, aber eigentlich ist "Dümmer gehts nicht mehr" nicht ganz nett, oder?

Nebenbei: Welche Zahl b ergibt 9, wenn man sie mit sich selbst multipliziert?
Da gibt es zwei Lösungen (+3) und (-3).
Welche davon ist die Wurzel?
Ganz einfach: Nimm eine der beiden Lösungen als b und wende darauf den (von Dir sogenannten) "Dümmer gehts nicht mehr"-Satz an:
Die Wurzel aus a ist b, wenn b>=0
Die Wurzel aus a ist -b,wenn b<0.
Das heißt: Egal, ob Du b=(+3) oder b=(-3) wählst, Du erhälst als Wurzel die Zahl 3.

Es wäre also nett, Georg, wenn Du Dich in Zukunft mit solchen Formulierungen etwas zurück hälst, denn ich halte es in einem Internet-Forum für kontraproduktiv, wenn man sich gegenseitig verbal den Schädel einschlägt.

Ciao
Cosine
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Gerd
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. September, 2000 - 18:22:   Beitrag drucken

also zur 3.Wurzel hab ich folgendes gelernt :

3.W ( -3) = - (3.W (3) )
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Lsdxtc (Lsdxtc)
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Veröffentlicht am Samstag, den 16. September, 2000 - 16:52:   Beitrag drucken

Hi Georg,
Beim ersten durchlesen deiner Antwort befürchtete ich, das ich das Wort positiv vor"Zahl b" vergessen habe. Aber es ist dennoch da.
Die Antwort von Cosine entspricht dem was ich ausdrücken wollte.
Die Wurzel aus 9 kann demnach nur 3 betragen. Wenn du -3 als mögliche Lösung in Betracht ziehst, so greift der 2. Teil der Definition; d.h. -3<0 also Ergebnis gleich -(-3). Im Endeffekt: Wurzel 9 = 3

Andererseit kann die Wurzel aus x sowohl
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fstrichvonx
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Veröffentlicht am Montag, den 18. September, 2000 - 08:12:   Beitrag drucken

Meiner Meinung nach ist das ganze ein Titulierungs- bzw. Vereinbarungsproblem.
Ich gehöre auch zu den Menschen, die unter dem Wurzelziehen das Suchen der Zahl(der Basis) beim potenzieren versteht.

n ____ n
\/ a = b <-> b*b*...*b*b=b =a
~~~n-mal~~~

In meinen Augen ist dann so etwas wie:

_____
y=\/1-x^2 keine Funktion.

Wir pflegen es die Wurzel mit einem Vorzeichen zu behaften um keine Missverständnisse aufkommen zu lassen. Das ganze Problem lässt sich also auf eine Absprache mit allen Beteiligten klären.

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