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Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Mai, 2000 - 11:54: | 
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Hi!
Es gibt mathematische Sätze, die erscheinen irgendwie einleuchtend und plausibel, aber wenn man nach einem korrekten Beweis sucht, findet man nichts... Okay, finde ich nichts...
Sind die Beweise alle so kompliziert, dass man dazu Mathematik studiert haben muss, um sie zu begreifen?
z.B.
1.) PI ist keine rationale Zahl
2.) Jede monotone begrenzte (beschrankte Folge) konvergiert
3.) Eine Funktion, die auf einem geschlossenen Intervall [a,b] definiert ist, hat in diesem Intervall einen Hoch- und Tiefpunkt.
Soll erstmal reichen. Falls jemand einen Beweis zu einem dieser Sätze kennt, wäre ich dafür dankbar.
Ciao
Cosine |
Zaph
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Mai, 2000 - 20:15: |
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Hi Cosine, nehmen wir mal Frage 3.
Das folgt aus der sogenannten "Vollständigkeit" von R. (R = reelle Zahlen)
Die reellen Zahlen sind vollständig, d. h. jede nach oben beschränkte Teilmenge von R besitzt ein Supremum in R. a heißt Supremum von einer Menge A, wenn a eine obere Schranke von A ist und wenn es keine kleinere obere Schranke von A gibt.
Z. B. ist Wurzel(2) das Supremum der Menge {x aus R| x²<2}. Q, die Mnege der rationalen Zahlen dagegen ist nicht vollständig, denn {x aus Q| x²<2} besitzt kein Supremum (Wurzel(2) ist nicht rational!).
Wieso um alles in der Welt ist R vollständig?
Es gibt verschiedene Möglichkeiten die reellen Zahlen einzuführen. Bei uns im ersten Semester wurde das so gemacht: R ist ein vollständiger, angeordneter Körper. Punkt. Das heißt, es wurden ein paar (so um die zehn) Gesetze als gegeben vorausgesetzt, die für R angeblich gelten, und diese Gesetze mussten wir dann glauben. Diese Gesetze wurden "Axiome" genannt, und aus den Axiomen wurde alles weitere bewiesen. Unter den Axiomen befanden sich die alten Bekannten "Kommutativitätsgesetz der Addition/ Multiplikation", das "Distributivgesetz" und eben die Vollständigkeit.
Eine sauberere, wenngleich weitaus mühsamere Methode ist, die natürlichen Zahlen als gottgegeben vorauszusetzen, und daraus die ganzen, rationalen und schließlich die reellen Zahlen zu konstruieren. Dann kann man die Vollständigkeit auch beweisen. Aber man hat dann immer noch die Lücke am Anfang: was sind die natürlichen Zahlen?
Cosine, wenn du wissen willst, wie die Geschichte weitergeht, wie aus der Vollständigkeit die Antwort auf deine Frage 3 folgt, melde dich noch mal. Bis dahin ist noch etwas Arbeit zu leisten, und aus dem Ärmel schütteln kann ich das jetzt auch nicht. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Mai, 2000 - 13:17: |
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Hi Cosine,
Die drei Sätze , die Du erwähnt hast, sind alle recht anspruchsvoll bezüglich eines Beweises; ich bin der Meinung, dass eine vertiefte Ausbildung im Fach Mathematik unabdingbar ist, damit man die Beweise verstehen und sogar nachvollziehen kann
Ich möchte mich zunächst zu Deinem ersten Beispiel, dem Irrationalitätsbeweis von Pi äussern.
Ein solcher wird an den Mittelschulen kaum je geführt ,im Gegensatz zum Irrationalitätsbeweis für die Eulersche Zahl e, den man im allergünstigsten Fall
in einem Leistungskurs durchführen kann
(Du findest einen solchen Beweis in diesem Board unter der
Archivnummer 2538)
Die Irrationalität und erst recht die Transzendenz von e und Pi sind tiefliegende Eigenschaften und die Beweise dazu sind auch deshalb schwierig, weil es sich um Nicht-Existenzbeweise handelt
Das zeigt schon die Historie:
Erstmals hat -nach langen Vorgeplänkeln und Vorspielen- der elsässische
Universalgelehrte Johann Heinrich Lambert, den wir auch aus anderen Fachgebieten her kennen, die Irrationalität von e und Pi bewiesen , unter Verwendung von Kettenbrüchen.
In seiner Abhandlung (1766) "vorläufige Kenntnisse für die,so die Quadratur und Rectification des Circuls suchen" bewiesen, dass für jede von null verschiedene RATIONALE Zahl x sowohl e ^ x als auch tan x NICHT
rational sein können.
Wendet man dies auf tan( Pi / 4) = 1 an, so folgt die Irrationalität von Pi
sofort indirekt.
Wenn du Interesse daran hast, kann ich mich gelegentlich auch zu Deinem zweiten Beispiel äussern, wo sich spezifische Schwierigkeiten beim Beweis einstellen.
Mit freundlichen Grüssen H.R. |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Mai, 2000 - 14:52: |
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Hallo megamath,
Man kann beweisen, dass pi und e transzendente Zahlen sind aber ich habe irgendwo mal gelesen, dass man auch heute noch nicht weiß, ob epi nun transzendent ist oder nicht.
Ist dir darüber etwas bekannt?
Gruß, Fern |
franz
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Mai, 2000 - 15:48: |
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Hallo, die Transzendenz von e^pi wurde meines Wissens bewiesen, im Zusammenhang mit der Funktionentheorie. Gruß Franz. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Mai, 2000 - 16:29: |
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Hi!
Also erstmal danke, an alle, die sich mal mit meinen Fragen beschäftigt haben.
Wenn man für das vollständige Verständnis Mathematik studiert haben sollte, habe ich schon mal was, worauf ich mich freuen kann...
Anyway,
Zaph, ich wäre schon interessiert, zu erfahren, wie es nach der Vollständigkeit der reelen Zahlen weitergeht(in Bezug auf meine 3.Frage)
zu megamath:
Kann es sein, dass die zweite Frage auch mit Vollständigkeit der reelen Zahlen zusammenhängt?
Jedenfalls, Zaph und megamath, wäre ich an weiteren Informationen zu meinen Fragen interessiert.
Wobei wir gerade von Fragen sprechen:
Ist sin(x) für x rational und x nicht Null auch immer irrational? Folgt das irgendwie aus tan(x)?
Ich habe gerade versucht, dass irgendwie selbst herzuleiten und hatte die Idee, den sinx mit tanx darstellen und kam bis zu
sinx = tan(x)/sqrt(1+tan^2(x))
Aber das bringt mir hier ja nichts, weil selbst wenn ich wüsste, dass tan(x) irr. ist, so muss ja das Quadrat davon nicht irr. sein... Und der Quotient von zwei irr. Zahlen muss auch nicht irr. sein... Okay, war's nichts.
Alles eher kompliziert... aber macht Spaß!
Also dankeschön!
Cosine |
Zaph
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Mai, 2000 - 22:48: |
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Hi Cosine,
die zweite Frage hat in der Tat mit der Vollständigkeit der reellen Zahlen zu tun. Das folgt sogar recht einfach:
Sei (an) eine monoton wachsende, beschränkte Funktion. (Der Fall, dass die Folge monoton fallend ist, kann analog betrachtet werde, das glaubst du hoffentlich auch ohne Beweis.)
Betrachte A ={an | n aus IN}.
Da die Folge beschränkt ist, ist A beschränkt. Da R vollständig, existiert das Supremum a von A.
Behauptung: limn->oo an = a.
Beweis: Sei e > 0 beliebig.
(Zu zeigen: es existiert ein N, so dass für alle n > N gilt: |an - a| < e.)
Da a das Supremum ist, existiert ein aN aus A mit aN > a - e. (a ist die kleinste obere Schranke!. Wenn aN <= a - e für alle N gelten würde, wäre a - e eine kleinere obere Schranke.)
Da die Folge monoton wachsend ist, ist an >= aN für alle n > N.
Somit an > a - e bzw an - a > -e für alle n > N.
Außerdem ist an <= a < a + e bzw. an - a < e für alle n.
Also |an - a| < e für alle n > N.
Bei Frage 3 habe ich meinen Mund wohl etwas zu voll genommen. Nicht dass das unermesslich schwer ist, aber sehr tricky(!) und ziemlich länglich. Dazu morgen etwas mehr, wenn auch nicht der komplette Beweis. Gruß Z. |
franz
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Mai, 2000 - 22:55: |
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Hallo Cosine, der Wertebereich von y=sin(x) umfaßt [-1;1]; Du kannst darin soviele rationale oder irrationale Zahlen finden, wie Dein Herz begehrt. F. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Mai, 2000 - 08:02: |
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Hi Cosine,
zu Deiner Frage "Ist sin(x) für x rational und x nicht Null auch immer irrational?"
x=30=30/1 ist rational und ungleich Null, sin 30 = 1/2 ist rational.
Oder sin 90 = 1.
Ciao. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Mai, 2000 - 09:49: |
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Danke, Zaph und franz und Anonym!
Aber zu franz:
Ich kenne den Wertebereich von y=sinx. Und ich weiß, dass sich genügend x-Werte finden lassen, damit sinx rational ist,
ABER: gefragt hatte ich nach rationalen x-Werten, die rationale y-Werte haben, außer x=0.
Und zu Anonym:
Entschuldige, falls ich mich nicht genau ausgedrückt haben sollte, aber ich meinte natürlich, dass wir die Übereinkunft verwenden, (die in der Analysis üblich ist), nämlich, dass bei trigonometrischen Funktionen f(x) die Variable x im Bogenmaß angegeben ist. Dann ist sin(30)=sin(30rad)= nicht sin(30°), sondern irgendwas ziemlich krummes. (hab meinen Taschenrechner nicht greifbar)
Trotzdem danke an alle
und
Tschau
Cosine
Somit |
Zaph
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Mai, 2000 - 14:51: |
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Hi Cosine, nochmal ich!
Habe gerade festgestellt, dass eine Funktion, die auf einem abgeschlossenen Intervall definiert ist, weder Maximum noch Minimum zu besitzen braucht.
Beispiel:
f: [0,1] -> R,
f(x) = x für 0 < x < 1,
f(x) = 1/2 für x = 0 oder x = 1.
Hast du die Voraussetzung "f stetig" vergessen (die ich intuitiv mitgelesen habe)? |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Mai, 2000 - 18:33: |
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Hi Zaph!
Du hast natürlich recht. f STETIG auf geschlossenem Intervall hat Hoch- und Tiefpunkt. Das war's, was ich sagen wollte. |
Zaph
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Mai, 2000 - 11:31: |
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Na gut. Wieversprochen hier die Beweisskizze. Zunächst etwas Vorbereitung. Es sei f stetig auf A := [a,b]. B := f[A] sei das Bild von A unter f. (xn) sei eine Folge mit Elementen aus A.
Lemma 1: Wenn (xn) konvergiert, dann ist
a <= limn->oo xn <= b.
Lemma 2: Wenn (xn) konvergiert, dann auch die Folge (f(xn)), und es gilt
limn->oo f(xn) = f(limn->oo xn).
Lemma 1 und 2 solltest du selbst hinkriegen. Wenn nicht, frag noch mal nach.
So jetzt kommt aber
Satz von Bolzano-Weierstrass: Die Folge (xn) besitzt eine konvergente Teilfolge.
Schon allein die Tatsache, dass dieser Satz den Namen von gleich zwei Mathematikern trägt, ist ein Indiz dafür, dass der Beweis nicht ganz auf der Hand liegt. Freu dich drauf im Studium. Solch einen Satz kann man i. d. R. erst dann richtig würdigen, wenn man sich schon einmal selbst am Beweis (oder wie du, am Beweis einer Folgerung dieses Satzes) versucht hat.
Verwende nun Lemma 1,2 und den Satz von B-W, um folgendes zu beweisen:
Lemma 3: B ist beschränkt.
Da R volölständig, existiert das Supremum y von B. Du wirst es schon erraten haben: y ist das absolute Maximum von f. Zeige hierzu:
Lemma 4: Es existiert eine Folge (xn) in A mit limn->oo f(xn) = y.
Verwende für den Beweis nur die Definition des Supremums.
Schließlich folgt aus B-W, Lemma 1, 2 und 4:
Satz: Es existiert ein x aus A mit f(x) = y.
Vielleicht bekommt das jemand auch einfacher hin. Würde mich auch interessieren. Gruß Z. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Mai, 2000 - 23:03: |
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Danke für die Antwort, Zaph. Lemma 1 und 2 sind einfach. Aber: was war nochmal eine Teilfolge? Da mir dieses Wort im Moment nichts sagt, ist für mich der ganze Satz von B-W im Moment nicht zu gebrauchen... Wäre dankbar für Erklärung.
Ansonsten danke für den ausfürlichen Beweis.
Gruß
Cosine |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Mai, 2000 - 23:34: |
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Hi Cosine
eine teilfolge ist genau das, was das Wort intuitiv einem nahelegt. Das Ganze mal genauer:
Du hast eine Folge, die fuer alle natuerlichen Zahlen definiert ist, nun betrachtest Du nur einen Teil davon, wie zum Beispiel alle Folgenglieder mit (un-)geraden Indizes, oder nur alle quadratischen Indizes oder sonstwas, wenn Du diese besonderen Zahlen, die Du herausgegriffen hast, direkt hintereinander anordnest, hast Du eine neue Folge, klang etwas komisch, ich weiss, deshalb noch ein Beispiel:
an=(-1)n
Definiere nun bn=a2n
diese Folge ist konstant 1, also auch gegen 1 konvergent, dies bedeutet insbesondere, dass a einen Häufungspunkt mit dem Wert 1 hat. Ganz nebenbei ist das meiner Meinung nach das Gebiet, wo man am häufigsten Teilfolgen betrachtet.
viele Gruesse
SpockGeiger |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Mai, 2000 - 09:36: |
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Ah, okay! Ich muss zugeben, dass das Wort bei mir zuerst intuitiv etwas anderes nahgelegt hat, was nämlich keinen Sinn macht, nämlich nur einen "abgeschlossenen Teil" zu betrachten, z.B. nur alle Glieder der Folge von 5 bis 13, aber dann hätten wir ja nur noch 9 Zahlen hintereinander und keine unendliche Folge mehr, die konvergieren oder divergieren kann..., aber so wie Du das sagst, macht das Sinn.
ACHTUNG SCHREIB/FORMATIERUNGSFEHLER: Du meinst sicher in der Zeile "Definiere nun" die "2n" nicht als Exponent, sondern als Index. (falls doch, hab' ich's doch nicht verstanden)
(a_n)^2n würde zwar auch gegen 1 konvergieren, aber irgendwie scheint mir das nach Deiner obigen Beschreibung keine Teilfolge zu sein)
Eine Frage noch zum Thema Teilfolge: Wenn ich mir nun Glieder aus a_n "rauspicke", um sie zu meiner Teilfolge zusammenzusetzen, muss ich dann monoton vorgehen oder darf ich dabei auch wieder zurück gehen? Beispiel:
a_n = Folge der natürlichen Zahlen >=1
a_n : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, ...
Wäre nun
b_n : 3, 2, 6, 5, 9, 8, 12, 11, 15, 14, ...
eine Teilfolge? Ich vermute, dass Nein, aber es würde mich mal interessieren...
Anyway, jetzt müsste ich eigendlich in der Lage sein, den obigen Beweis nachzuvollziehen. Sobald ich's kapiert habe, melde ich mich nochmal.
Gruß
Cosine
P.S. Ich nehme an, es ist sehr schwer, eine kovgergente Teilfolge von z.B. a_n=sin(n) anzugeben, die ja nach B-W existieren muss... |
Zaph
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Mai, 2000 - 17:29: |
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Eine Folge ist eine Funktion
a: IN -> R.
Kurz schreibt man dafür auch
(an) = (a0,a1,a2,...) = (a(0),a(1),a(2),...)
oder ähnlich.
Wenn f: IN -> IN eine streng monoton wachsende Funktion ist, dann ist die Funktion a°f ("a nach f") eine "Teilfolge" von a. Notation:
(af(n)) = (af(0),af(1),af(2),...)
oder ähnlich unmissverständlich.
Eine gegen 0 konvergente Teilfolge von sin(n) müsste mit der "Kettenbruchentwicklung" von p hinzubekommen sein. (Die Kettenbruchentwicklung liefert sehr gute rationale Näherungswerte einer irrationalen Zahl.) |
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