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Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Mai, 2000 - 01:58: | 
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Guten Tach,
Isch hätte da gerne mal 'n Problem.
Und zwar sitze ich hier um kurz vor 3 in der Nacht vor dem PC und versuche mir zu überlegen, ob es eine Funktion geben kann, die auf einem Intervall I=(a..c) stetig und differenzierbar ist, aber deren Ableitung an einer Stelle b in I nicht stetig ist?
Bei allen Funktionen, die in 13Jahren Schule durchgenommen habe (okay, in den ersten 8 Jahren waren das nicht so viele), war die Ableitung überall stetig, wo sie definiert ist. Ist das immer so? Oder kann der oben erwähnte Fall auftreten?
Bitte um Antwort auf mein Problem!
(Eilt aber überhaupt nicht...) |
Zaph
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Mai, 2000 - 19:02: |
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Hi Cosine, die Ableitung braucht nicht stetig zu sein. Beispiel:
f(x) = x²sin(1/x) für x ungleich 0,
f(x) = 0 für x = 0.
f ist für x = 0 differenzierbar(!), aber die Ableitnug ist dort nicht stetig.
PS: Kannst du dir vorstellen, dass es Funktionen gibt, die überall stetig aber nirgends differenzierbar sind? Die lassen sich aber nicht so einfach definieren wie das obige Beispiel. |
franz
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Mai, 2000 - 08:09: |
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Neugierig: Wie lautet f'(0)? F. |
Ingo
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Mai, 2000 - 12:28: |
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f'(0)=0
denn |f(x)|£x2 für alle x
Stichwort : Einschachtelungssatz |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Mai, 2000 - 21:52: |
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Danke für die prompte Antwort. Ich habe nur noch das Problem, dass ich im Moment noch nicht darauf komme, wie ich mit dem Einschachtelungssatz hier weiter komme...
Kein Problem war es für mich dagegen, die Stetigkeit der Funktion bei x=0 und die Divergenz von f'(x) für x->0 zu zeigen. Nur bei der Berechnung von f'(0) = Beweis der Differenzierbarkeit wurd's mir zu schwer.
Nebenbei: Ja, ich habe von einer solchen Funktion (stetig, aber nicht diff.bar)gehört und sie sogar auf dieser (echt schön gemachten (amerikanischen)(=Werbung)) Seite gefunden:
http://www.shu.edu/html/teaching/math/reals/cont/fp_weier.html
Diese Funktion soll überall stetig, aber nirgens diffbar sein. Ehrlich gesagt, habe ich aber nur das Bildchen angeschaut und ein bisschen reingezoomt, bis sie (aufgrund Rechenungenauigkeiten) doch sehr diff.bar aussah. Mit dem angegebenen Funktionsterm habe ich mich dagegen noch nicht beschäftigt. Trotzdem bietet mir glaube ich eine solche Funktion weniger Probleme bei der Vorstellung, als eine Funktion, bei der die Ableitung existiert, aber nicht stetig ist...
Wäre dankbar für noch eine etwas genauere Herleitung von f'(0).
Trotzdem schon mal Danke!
Cosine |
Zaph
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Mai, 2000 - 22:16: |
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Den Differenzenquotient berechnen und h gegen Null schicken:
f '(0)
= limh->0 (f(h) - f(0))/h
= limh->0 h sin(1/h)
= 0 [da |sin(1/h)| <= 1].
Z. |
franz
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Mai, 2000 - 22:49: |
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Hallo Cosine, nach weit zurückliegender Erinnerung kann man eine stetige/nicht differenzierbare Funktion konstruieren zum Beispiel als Grenzwert einer immer feiner gestuften Treppe oder so ähnlich. Gruß F. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Mai, 2000 - 09:49: |
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Danke, Zaph!
Hab wohl zu kompliziert gedacht...
Mir fällt aber noch eine Frage ein. Habt Ihr auch hier ein Beispiel dazu:
Bei der vorherigen Funktion war es ja so, dass lim f'(x) für x-> 0 nicht konvergierte.
Kann es eine Funktion geben, die stetig und diff.bar ist und bei der lim f'(x) für x-> 0 conv., aber nicht identisch ist mit f'(0) ?
oder kann das nicht sein?
Ciao
Cosine |
Zaph
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Mai, 2000 - 11:07: |
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Hi Cosine, du stellst wirklich tolle Fragen. Das Mathestudium ist genau das richtige für dich!
Also, wenn A = limx->0 f '(x) existiert, dann ist A = f '(0).
Das zeigt man mit dem
Mittelwertsatz: Es sei f differenzierbar auf [a,b] dann existiert ein x aus (a,b) mit
f '(x) = (f(b) - f(a))/(b - a).
Auf den Beweis kannst du dich im Studium freuen. Hier nun, wie aus dem Mittelwertsatz die Antwort auf deine Frage folgt.
Es ist f '(0) = limh->0 (f(h) - f(0))/h.
Für h = 1/n folgt
f '(0) = limn->oo (f(1/n) - f(0))/(1/n).
Nach dem Mittelwertsatz exisiert zu jedem n ein xn aus (0,1/n) mit
f '(xn) = (f(1/n) - f(0))/(1/n),
also
f '(0) = limn->oo f '(xn).
Da limn->oo xn = 0, folgt
f '(0) = A. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Mai, 2000 - 23:05: |
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Danke Zaph für Deine tollen Antworten auf meine Fragen. Die Fragen haben sich teilweise im Laufe der letzten Jahre angesammelt und jetzt -wo ich dieses ZahlReich-Forum gefunden habe- habe ich jemand, den ich damit nerven kann. :-) (obwohl zugegeben sie eigendlich nicht in die Rubrik Hausaufgaben Klasse 11-13 fallen...)
Ich habe sogar schon einmal einen Beweis des Mittelwertsatzes der Diff.Rechnung in einem amerikan. Mathebuch gesehen und er erschien mir sogar relativ nachvollziehbar, nur dass er halt den Satz verwendet hat, den Du mir auf der anderen Seite erklärt hast. Der wurde da einfach als bekannt vorausgesetzt:
"Eine Funktion, die auf einem geschlossenen Intervall [a,b] definiert ist, hat in diesem Intervall einen Hoch- und Tiefpunkt."
Dann wurde noch schnell bewiesen, das bei einem lokalen Extremum f' entweder 0 oder nicht def. ist. Das haben sie dann verwendet, um zuerst "Rolle's Theorem" zu beweisen, das dann zu dem Mittelwertsatz ("Mean Value Theorem") verallgemeinert wurde.
Hmm... Da fällt mir ein, dass man den von Dir erwähnten Satz:
"Wenn A = limx->0 f '(x) existiert, dann ist A = f '(0)."
auch mit der L'Hospital-Regel beweisen könnte. Natürlich nur, wenn man die vorher bewiesen hat... (Aber ich glaube, mich zu erinnern, dass man für die Herleitung von L'Hospital's Rule auch den Mittelwertsatz gebraucht hat...)
Von daher liefe das wohl auf's selbe hinaus...
Also nochmal dankeschön!
Cosine |
Zaph
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Mai, 2000 - 21:42: |
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Hi Cosine, das mit L'Hospital ist eine originelle Idee! Den Trick kannte ich nicht. |
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