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Anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Mai, 2000 - 19:57: | 
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Wie kann ich anhand von den Funktionen:
y=x+1/(x-2) und y=x^2-2x+1/(x^2-1)
den Unterschied zwischen hebbarer und nicht hebbarer Lücke erklären? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Mai, 2000 - 19:40: |
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Hi,
Damit Deine Beispiele Sinn bekommen, setzen wir zusätzliche Klammern:
a) y = ( x + 1 ) / ( x - 2 )
b) y = (x ^ 2 - 2 x + 1 ) / ( x ^ 2 - 1)
Zu a) : Hier liegt an der Definitionslücke ,also an der Stelle x = 2,
ein Pol ( Unendlichkeitsstelle) vor, weil der Nenner für x = 2 null,
der Zähler hingegen an dieser Stelle nicht null ist.
Der Graph besitzt hier eine zur y-Achse parallele
Asymptote mit der Gleichung x = 2.
Zu b) : 1) x - Wert x = 1: Sowohl der Nenner als auch der Zähler
wird an dieser Stelle null; es liegt eine Lücke (hebbare Unstetigkeit)
vor, weil der Grenzwert von y für x -> 1 existiert.
Dieser Grenzwert lässt sich leicht ermitteln, wenn man Zähler und Nenner des
Bruches in Faktoren zerlegt und kürzt ; es kommt:
y = [ (x -1 ) ^ 2 ] / [ ( x + 1 ) * ( x - 1 ) ] = ( x - 1 ) / ( x + 1 ) ;
dies strebt gegen 0 , wenn x gegen 1 strebt. Demnach liegt eine Lücke des
Graphen vor , nämlich der Punkt L (1 / 0 )
Diese Unstetigkeit heisst hebbar, weil durch Einsetzen dieses Punktes
die Funktion nachträglich stetig gemacht werden kann und die Unstetigkeit
damit behoben wäre.
2 ) Bei x = - 1 hat die Funktion einen Pol, da hier der Nenner null wird ,
der Zähler dagegen von null verschieden ist.
Es stellt sich die analoge Situation ein wie beim Beispiel a)
Der Graph der Funktion b) ist eine Hyperbel mit den Geraden x = -1
und y = 1 als Asymptoten, der ein Punkt , eben L ( 1 / 0 ) , fehlt.
Hoffentlich ist Dir der wesentliche Unterschied der Unstetigkeitstypen bei diesen Beispielen klar geworden !
Mit freundlichen Grüssen |
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