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Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Mai, 2000 - 18:59: | 
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Hallo
ich habe ein problem und zwar:
wie beweist man eine hebbare lücke?
außerdem habe ich problem bei der 2. ableitung gebrochen rationaler funktionen. gibt es da irgendeine formel oder ähnliches?
vielen dank |
Kai
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Mai, 2000 - 22:57: |
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hebbare Lücke:
Wenn der linksseitige Grenzwert der Funktionswerte gleich dem rechtsseitigen in der Lücke ist, dann ist das der Kandidat für den Funktionswert der Lücke.
2. Ableitung ...:
Wende zweimal die Quotientenregel an. Nach dem ersten mal würde ich kürzen/vereinfachen soweit wie möglich.
Kai |
Cosine
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Mai, 2000 - 01:01: |
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Guten Tach!
Noch ein Hinweis für die höheren Ableitungen gebr. rationaler Funktionen. Wenn er nicht weiterhilft, sofort wieder vergessen.
Wenn die Ausgangsfunktion den Nenner q(x) hat, so hat die erste Ableitung (nach Quotienenregel) den Nenner [q(x)]^2. Das ist noch nichts neues.
Wenn nun stur die Quotientenregel ein zweites Mal angewandt wird, so wird dieser Nenner nochmal quadriert und man erhält kurzzeitig
[[q(x)]^2]^2=[q(x)]^4
Dies läßt sich aber immer so vereinfachen, dass man am Ende [q(x)]^3 im Nenner stehen haben muss.
Wenn das nicht geht, hat man einen Fehler gemacht!
Der Exponent des Nenners wird durch das Ableiten also immer genau um Eins höher, sonst stimmt was nicht. Das heißt die dritte Ableitung müsste im Nenner [q(x)]^4, und die vierte Ableitung [q(x)]^5 haben.
Beispiel:f(x)=2x/(x-1)^2
Da bei der Originalfunktion der Nenner bereits den Exponent 2 hat, müsste also in der ersten Ableitung der Nenner den Exponent 3 haben.
Quotientenregel liefert: f'(x)=(2(x-1)^2 - 2x*2(x-1))/(x-1)^4
Wir sehen, dass wir hier noch den Exponenten 4 im Nenner haben, da wir aber wissen, dass am Ende da eine 3 stehen muss, muss es möglich sein, ein (x-1) auszuklammern und wegzukürzen. Und in der Tat: das geht auch.
Der Zähler lässt sich nämlich umformen zu
2(x-1)*(x-1 - 2x)=2(x-1)(-x-1)
Wir können also ein (x-1) wegkürzen und somit bleiben noch 3 Stück im Nenner übrig. Das Ergebnis müsste also
f'(x)=2(-x-1)/(x-1)^3=-2(x+1)/(x-1)^3
sein. Und wir haben unsere 3 im Nenner, wo sie hingehört.
Diese Regel ist sehr hilfreich, da viele Schüler wahrscheinlich den Zähler gleich ausmultipliziert hätten und dann ist es sehr schwer, noch zu erkennen, dass man ein (x-1) im Zähler noch wegkürzen kann. Und bei komplizierteren Termen ist man froh über alles, was man kürzen kann und somit los ist.
BEISPIEL BITTE NICHT STUR GLAUBEN , SONDERN IM BEDARFSFALL NACHRECHEN! ICH BIN NÄMLICH IM MOMENT ZU MÜDE DAZU.
Und wie gesagt: Wer mit dieser Hilfsregel nichts anfangen kann und auch ohne sie zurecht kommt, einfach wieder vergessen.
Also, dann
Ciao
Cosine |
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