Autor |
Beitrag |
Anonym
| Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Mai, 2000 - 12:59: |
|
Schreibe morgen eine total wichtige Matheklausur, in der ich fast mit 100%-iger Sicherheit folgende Aufgabe lösen muss: f(x) = 1/16x hoch4 - 3/4x hoch2 Bin jedem der mir eine Lösung geben könnte ( Ableitung, Symmetrie, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Zeichnung) sehr , sehr dankbar! Wirklich! |
Sternenfuchs (Sternenfuchs)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Mai, 2000 - 20:29: |
|
f(x)=1/16x^4 - 3/4x^2 f(x)=x4/16 - 3*x2/4 f'(x)=x3/4-3*x/2 f''(x)=3*x2/4-3/2 f'''(x)=3*x/2 f''''(x)=3/2 Nullstellen: x4/16 - 3*x2/4 =0 x2*(x2/16-3/4)=0 x1=0 x2/16-3/4=0 x2/16=3/4 x2=12 x2=-Ö12 x3=+Ö12 |
Cantaro
| Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Mai, 2000 - 21:21: |
|
Aufgabe: Diskutiere die Funktion f(x) = 1/16x4 - 3/4x2 (Ableitungen, Symmetrie, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Zeichnung). ---------- Ableitungen: (nach den Rechenregeln: d/dxxn = nxn-1 für alle n != 1) f'(x) = 1/4x3 - 3/2x f''(x) = 3/4x2 - 3/2 f'''(x) = 3/2x Symmetrie: f(-x) = 1/16(-x)4 - 3/4(-x)2 = 1/16x4 - 3/4x2 = f(x) für alle x. Also ist f achsensymmetrisch zur y-Achse. Nullstellen: (gdw. = genau dann, wenn; sqrt = Quadratwurzel) f(x) = 0 gdw. 1/16x4 - 3/4x2 = 0 gdw. x4 - 12x2 = 0 gdw. x2(x2 - 12) = 0 gdw. x = -sqrt(12) oder x = 0 oder x = sqrt(12) Also sind die Nullstellen: N1,2(0, 0), N3(-sqrt(12), 0), N4(sqrt(12), 0). x = 0 zählt doppelt, denn x2 = xx. Lokale Extrema: Notwendige Bedingung: f'(x) = 0 f'(x) = 0 gdw. 1/4x3 - 3/2x = 0 gdw. x(x2 - 6) = 0 gdw. x = -sqrt(6) oder x = 0 oder x = sqrt(6) Hinreichende Bedingung: f''(x0) != 0 für ein x0, das die notwendige Bedingung erfüllt. f''(0) = -3/2 f''(-sqrt(6)) = f''(sqrt(6)) = 3 Also hat f bei M(0, 0) ein lok. Maximum, bei m1(-sqrt(6), -9/4) und m2(sqrt(6), -9/4) lok. Minima. Wendepunkte: Notwendige und hinreichende Bedingung wie bei Extrema, jedoch jeweils eine Ableitung "höher". f''(x) = 0 gdw. 3/4x2 - 3/2 = 0 gdw. x2 = 2 gdw. x = -sqrt(2) oder x = sqrt(2) f'''(-sqrt(2)) = -3/2 sqrt(2) != 0 f'''(sqrt(2)) = 3/2sqrt(2) != 0 Also hat f bei W1(-sqrt(2), -5/4) sowie W2(sqrt(2), -5/4) Wendepunkte. Zeichnung: kannste selber machen, sollte bei den vielen Angaben nicht schwierig sein. ---------- Zeitaufwand: ca. 20 Minuten. |
|