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Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Mai, 2000 - 20:36: | 
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1) geg: f:[-1,1]->R; x-> (x^2-4x+1)/(x^2+1)
a)Zeige, daß f streng monoton fallend ist.
b) Bestimme Minima und Maxima
2) f: x-> cos(x)-2x+3
Beweise, daß f genau eine Nullstelle hat |
Pi*Daumen
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Mai, 2000 - 21:22: |
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Tipps:
1)
a) Einfach f' berechnen und zeigen, daß dies für |x|<1 negativ ist.
b) Zähler von f' Nullsetzen ist die normale Methide. Da die Funktion aber streng monotón fällt, ist der linke Rand (also x=-1) das Maximum und der rechte Rand (also x=1) das Minimum.
2)
Die Funktion ist stetig. Wenn f 2 Nullstellen hätte (oder mehr), dann hätte f einen Extremwert. Dann gibt es ein x, sodaß f'(x)=0 gilt.
Also 0=f'(x)=-sin(x)-2 <=> sin(x)=-2 Widerspruch, da die Sinusfunktion keine Werte kleiner -1 annimmt.
Also ist die Annahme falsch, es gibt also keinen Extremwert und damit auch höchstens eine Nullstelle.
Jetzt nehmen wir an, f hätte gar keine Nullstelle. Wegen der Stetigkeit bedeutet dies, daß alle Funktionswerte von f entweder positiv oder alle Funktionswerte negativ sind. Wenn alle zum Beispiel positiv sind, kann kein einziger negativer vorkommen.
Wähle nun x=0 => f(x)=+4 > 0
Wähle nun x=360° => f(x)=-716 < 0
Das ist wieder ein Widerspruch.
Also wenn x
1) höchstens eine und
2) mindestens eine
Nullstelle hat, dann hat f genau eine Nullstelle.
Pi*Daumen |
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