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Heike R.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Mai, 2000 - 19:53: | 
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Hallo!
Ich hätte wieder ein ganz knifflige Aufgabe für Euch:
Die Heizung eines Hauses erfolgt durch einen im Keller befindlichen Öltank von 500 Liter Fassungsvermögen. Dieser ist seitlich von einem Zylinder, oben von einem kreisförmigen Deckel und nach unter von einem Kegel mit dem Öffnungswinkel 120 Grad begrenzt. Welche Abmessungen hat der Öltank, wenn zu seiner Herstellung möglichst wenig Blech verbraucht werden soll?
Danke für Eure Bemühungen!
Heike |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Mai, 2000 - 09:13: |
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Hi Heike,
Vorbereitung:
0. Da die Null angeblich zu den natürlichen Zahlen gehört
(nachzulesen unter Arithmetik im Board der Unterstufe)
beginnen wir mit dieser Nullrunde, d.h. mit der Nomenklatur:
Radius des Zylinders : x
Höhe des Zylinders: y
1. Als Einheit für das Volumen setzen wir liter ein; da 1 liter 1dm^3
bedeutet, ist die Längeneinheit daher 1 dm ( = 10 cm ).
Die Einheiten werden bei den Berechnungen nicht nachgeführt
2. Bemerkung zum Rotationskegel. Der Winkel zwischen der
Kegelachse und einer Mantellinie stimmt mit dem halben
Oeffnungswinkel überein, er misst somit 60° .
Der Achsenschnitt ist ein gleichschenkliges Dreieck mit dem
Winkel 30° an der Basis. Für den Radius x der Grundfläche
des Kegels ergibt sich als Höhe h des Kegels :
h = x * tan 30° = x * wurzel(3) / 3
Die Mantellinie s ergibt sich zu s = x / cos30° = 2 x * wurzel(3) / 3
3. Die Mantelfläche M des genannten Kegels berechnen wir mit
der Formel M = Pi * x * s
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Bei Deiner Aufgabe handelt es sich wieder einmal um eine
Extremalaufgabe mit Nebenbedingung.
Diese Nebenbedingung verlangt, dass das Volumen V des
gesamten Körpers (Zylinder plus Kegel) 500 Volumeneinheiten
beträgt, also gilt:
500 = Pi * x ^2 * y + Pi* x ^ 2 * h /3 = Pi * x ^2 *y + Pi*x ^3 * wurzel(3)/9,
daraus berechnen wir y :
y = 500 / (Pi * x^2) - x * wurzel (3) / 9 (Formel Y)
Für die gesamte Oberfläche F erhalten wir :
F = Pi * x^2 + 2* Pi * x + 2* Pi * x^2 * wurzel (3) /3
Der erste Summand stellt die Fläche des kreisförmigen Deckels, der zweite den Zylindermantel und der dritte den Kegelmantel dar.
Wir ersetzen gemäss der Formel (Y) die Variable y und erhalten
F als Funktion von x allein., die wir dann nach x ableiten werden.
F = F(x) = Pi * x ^ 2 + 1000 / x + 4* Pi / 9 * wurzel(3) * x ^2 .
F ' ( x) = 2*Pi * x - 1000 / x^2 + 8 * Pi / 9 * wurzel (3) * x = 0
Man findet aus dieser Gleichung für den Wert x = x*,welcher
die minimale Oberfläche liefert ( Radius des Zylinders) :
x* = 10 * (dritte Wurzel(9)) / (dritte wurzel(2*Pi*(9+4*wurzel(3)))
Näherungswert für x* :
x* = 4.48 dm = 44.8cm ; damit erhält man mit der Formel (Y)
für die zugehörige Höhe y* des Zylinders:
y* = 7.07 dm = 70.7 cm
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Für allfällige Rückfragen stehe ich gerne zur Verfügung
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Mit freundlichen Grüßen
Hans Rudolf Moser,megamath
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