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Jasmin
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Mai, 2000 - 21:30: | 
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Hi, Leute, könnt ihr mir bei folgendem Problem auf die Sprünge helfen?
Seien a Element von R und D Teilmenge von R mit der Eigenschaft, dass sowohl Dl := {x Element aus D| x a} nicht leer sind.
Hier muss ich nun (noch) zwei Aussagen zeigen (den Rest habe ich so Ach und Krach hingekriegt):
( f ist dabei eine reelle Funktion von D nach R)
a) infimum { f(x)| x Element aus Dl}>= supremum {f(y)| y Element aus Dr}
b) Ist a Element aus D und a ein Häufungspunkt von Dl und von Dr, so ist f genau dann stetig in a, wenn infimum {f(x)| x Element aus Dl}= supremum {f(y)| y Element aus Dr}
Ich glaube hier versagt mein Latein (Mathe schafft uns echt alle!). Ich weiss nicht, auf welche Sätze ich zurückgreifen muss, um obige Aussagen zu beweisen.
HELP!!
Jasmin |
Anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Mai, 2000 - 06:52: |
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Ich würde Dir gerne helfen, müßte dafür allerdings die Sonderzeichen in der Aufgabe lesen können. |
Jasmin
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Mai, 2000 - 20:52: |
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Tschuldigung!
Die Sonderzeichen meinen alle eine "geschweifte Klammer". Ich wußte nicht, dass die Klammern nicht übernommen werden. Also, nicht davon stören lassen, es sind nur Klammern, wie man sie zum Bezeichnen einer Menge benutzt.
Danke für deine Hilfsbereitschaft! |
Zaph
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Mai, 2000 - 11:55: |
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Geschweifte Klammern findest du auf der Tastatur bei "7" ({) und bei "0" (}). Zumindest ist das bei meiner Tastatur so.
Nun weiß ich allerdings nicht, was mit
Dl := {x Element aus D| x a}
gemeint sein soll. Wahrscheinlich wurde mal wieder irgendwas von der Formatierung verschluckt. Beachte bitte, das alles, was zwischen einem "<" und einem ">" eingegeben wird hier nicht angezeigt wird.
Meintest du vielleicht
Dl := {x Element aus D| x < a},
Dr := {x Element aus D| x > a}
und fehlt bei f(x) eine Voraussetzung (monoton oder so)?
Hallo Zahlreich-Technik: HTML schön und gut --- aber verwendet das überhaupt irgendwer? |
Jasmin
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Mai, 2000 - 16:33: |
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Genau so, wie du es geschrieben hast! Vielen Dank für deine Geduld! |
Zaph
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Mai, 2000 - 19:16: |
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Also zu zeigen:
Wenn f monoton fallend, dann
inf{f(x) | x aus Dl} >= sup{f(y) | y aus Dr}.
(Wenn f nicht monoton fallend, dann gilt das nicht.)
Beweis: Setze A := {f(x) | x aus Dl}, B := {f(y) | y aus Dr}.
Zunächst muss gezeigt werden, dass inf A und sup B existieren.
Da nach Voraussetzung Dr nicht leer ist, gibt es ein x0 aus Dr. Für ein beliebiges x aus D1 ist x < a < x0. Da f monoton fallend, also f(x) > f(x0). Somit ist A nach unten (durch f(x0)) beschränkt und besitzt ein Infimum.
Ebenso beweist du, das B ein Supremum besitzt.
Angenommen inf A < sup B.
Nach der Definition des Infimums gibt es ein f(x) aus A mit f(x) < sup B. (Denn sonst wäre ja sup B eine größere untere Schranke für A als inf A.)
Nach der Definition des Supremums gibt es ein f(y) aus B mit f(x) < f(y). (Sonst wäre f(x) eine kleinere obere Schranke für B als sup B.)
Nach Definition von A und B ist x aus Dl und y aus Dr. Also
x < a < y.
Dies ein Widerspruch zu f(x) < f(y), da f monoton fallend ist.
Hilft dir das weiter? Falls ja bekommst du morgen noch Teil b. Jetzt muss ich erstmal Grand Prix kucken :-) |
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