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SpockG.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Mai, 2000 - 19:57: | 
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Hi Leute
Kann mir jemand sagen, wie man die Nullstellen eines Polynoms dritten Grades herleitet?
Mir geht es um die wirklich allgemeine Formel
Als zweites:
Wo gibt es kostenlose Versionen von Maple, Mathematica, LateX, oder aehnlichem Zeug fuer Mathe, sprich CAB's und Formeldarstellungsprogramme?
Da das noch nicht reicht: Mich interessiert die Untersuchung nicht-isomorpher endlicher Gruppen bzw. Koerper. Gibt es da vielleicht eine Formel fuer die Anzahl oder sowas. Weiss auch wer, inwieweit das erforscht ist?
vielen Dank im voraus
SpockGeiger |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Mai, 2000 - 15:01: |
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Hi Spock G. ,
Zu Deiner ersten Frage bezüglich der exakten Auflösung
einer kubischen Gleichung ist einiges zu sagen.
Hauptakteur ist der italienische Mathematiker Cardanus
(Geronimo Cardano 1501 / 1576), der sich schon im Jahre1545
erfolgreich mit solchen
Gleichungen beschäftigt hat ( Quelle: Ars Magna de rebus algebraicis ).
Die Gleichung x^3 + 6x = 20 lautete in der damaligen Schreibweise:
Cubus p' rebus aequalis 20 ; radix 2
Aber schon Diophantos von Alexandrien löste in der zweiten Hälfte des
3. Jahrhunderts n.Chr. Gleichungen dritten Grades auf eine ziemlich
raffinierte Art (Nachahmung empfohlen !).
Beispiel: Die Gleichung (x - 1) ^ 3 = ( x + 1 ) ^ 3 + 2 wird so gelöst:
x ^ 3 - 3 x ^ 2 + 3 x - 1 = x ^ 2 +2 x + 3
x ^ 3 + x = 4 x ^2 + 4
x ( x ^ 2 + 1 ) = 4 ( x ^ 2 + 1 )
x = 4
Wir kommen bei der Besprechung der Cardano-Formeln auf dieses
Beispiel zurück, indem wir alle drei Lösungen der Gleichung ermitteln.
Der indische Meister Bhaskara löste im 12.Jahrhundert n.Chr .
die Gleichung x^3 + 12 x = 6 x^2 + 35 so:
(x-2)^3 = 3^3
x = 5
Auch auf diese Gleichung kommen wir später zurück.
Nun zu Cardano !
Gegeben sei die Gleichung
x ^ 3 + a x ^ 2 + b x + c = 0
Durch die Transformation x = x ' - a / 3 geht die Gleichung über in
die sogenannte reduzierte Form ohne quadratisches Glied:
x' ^ 3 + p x' + q = 0 mit p = - a ^ 2 / 3 + b , q = 2/27 * a^3 - ab/3 + c
Anmerkung: die Transformation x = x' - a / 3
bedeutet eine Verschiebung des Koordinatensystems um a / 3 in
Richtung der positiven x-Achse. Der x-Wert - a / 3 stimmt
übrigens mit der Wendepunktsabszisse der kubischen Funktion
y = x^3 + a x ^ 2 + b x + c überein.
Als erstes Beispiel wählen wir die Gleichung von Bhaskara
x ^ 3- 6 x ^ 2 + 12 x - 35 = 0
Hier ist
x = x' + 2 , p = 0 , q = - 27 , also: x' ^3 - 27 = 0 ;
wir erhalten als Lösungen sofort: x1' = 3 und die zwei konjugiert
komplexe Lösungen
x2'= -3/2 + i * 3 wurzel (3) / 2 , x3' = -3/2 - i*........
Als zweites Beispiel wählen wir:
x ^ 3 - 9 x ^ 2 + 26 x - 24 = 0 , hier gelten:
x = x' + 3 , p = - 1 , q = 0 , also lautet die transformierte Gleichung:
x' ^ 3 - x ' = 0 ( der neue Nullpunkt fällt mit dem Wendepunkt der
Kurve zusammen)
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Fortsetzung folgt !
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H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Mai, 2000 - 17:37: |
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Fortsetzung: Formeln von Cardano
Im folgenden gehen wir jeweils von der reduzierten Form der Gleichung aus und lassen die Akzente weg.
Zunächst sollen einige Cardano-Formeln notiert werden
Ein Beweis der Formeln erfolgt anschliessend.
Wir bilden die " Diskriminante " D = q ^ 2 / 4 + p ^ 3 / 27
1.Fall : D kleiner 0 : Die Gleichung hat drei verschiedene Lösungen
2.Fall : D gleich 0 : Die Gleichung hat drei reelle Lösungen ,
von denen zwei zusammenfallen.
3.Fall : D grösser 0 : Die Gleichung hat eine reelle und zwei konjugiert
komplexe Lösungen
Zum zweiten. und dritten Fall
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Wir lösen die Gleichung x^3 + p x + q = 0 für D > = 0
Mit den Hilfsgrössen u und v, nämlich
u = dritte Wurzel ( -q / 2 + Quadratwurzel(D))
v = dritte Wurzel ( - q /2 - Quadratwurzel(D))
ergeben sich die drei Lösungen so :
x1 = u + v
x2 = - ( u + v) / 2 + i /2 * wurzel (3) * ( u - v )
x3 = - ( u + v) / 2 - i / 2 * wurze l(3) * ( u - v )
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Fortsetzung folgt
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H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Mai, 2000 - 17:43: |
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Fortsetzung: Cardanissimo
Beispiel
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x ^ 3 + 9 x + 26 = 0
Es ist : p = 9 , q = 26, D = 169 + 27 = 196 > 0
u = 1 , v = - 3
x1 = - 2
x2 = 1 + i 2*wurzel (3)
x3 = 1 - i 2*wurze l(3)
Herleitung dieser Formeln
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Ansatz für x :
x = u + v ; einsetzen in die Gleichung führt auf:
u ^ 3 + v ^3 + (u + v) * ( 3 u v + p ) + q = 0.
Wir haben gewisse Freiheiten: wir setzen die letzte Klammer null
und erhalten für u und v die beiden Gleichungen:
(1) u ^ 3 + v ^ 3 + q = 0 und (2) 3 u v + p = 0.
Wir lösen die zweite Gleichung nach v auf und setzen das Resultat
in (1) ein. Es kommt:
u ^ 6 + q * u ^ 3 - p^3 / 27 = 0. (Gleichung R)
Dies ist eine quadratische Gleichung für u ^ 3; sie heisst quadratische
Resolvente der gegebenen kubischen Gleichung.Ihre Diskriminante ist
das Vierfache des erwähnten Terms D !
Anmerkung : Luigi Ferrari (1522 /65) ,ein Schüler Cardanos und
UrUrUr.....-Ahne des bekannten Herstellers superschneller Automobile,
leitete für die Auflösung der Gleichung vierten Grades eine analoge
Resolvente dritten Grades her !
Löst man die quadratische Resolvente ® nach u ^ 3 auf unter der Voraussetzung, dass deren Diskriminante 4D nicht negativ ist, so erhält man schliesslich die oben angegebenen Werte für u, für v und schliesslich für x1
Die beiden komplexen Lösungen ergeben sich aius der Tatsache ,dass die
Gleichung x^3 = 1 ausser x = 1 noch die Lösungen
cos(2Pi / 3) + i sin (2Pi / 3) und cos (4Pi/3) + i sin (4Pi/3) hat. .
Fall 1 ist etwas heikler,weil der Radikand der Quadratwurzel negativ ist.
Er bereitete den mittelalterlichen Mathematikern grosse Schwierigkeiten,
und sie bezeichneten diesen Fall daher als casus irreducibilis .
Wir wollen uns mit diesem Fall nur auf ausdrücklichen Wunsch hin
näher beschäftigen.
Schlussbemerkung:
Zum Anschaffungsmodus von Cas -Systemen kann ich mich nicht
äussern Es würde sich aber lohnen,einen sogar grösseren Betrag zu
investieren.
Die meisten Probleme, die im Board gestellt werden, lassen sich
rechnersch mit solchen Systemen bearbeiten; insbesonder löst z.B.
Maple V problemlos kubische Gleichungen, nicht nur numerisch,
sonderna auch formal.
Ich glaube, diese Ausführungen sollten fürs erste genügen
Freundliche Grüsse
H.R. |
Martin Ozimek (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Mai, 2000 - 23:00: |
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Hi Moser
Danke erstaml, hab mir das mal rauskpiert, muss mir offline angucken, Du bringst anderen gerne was bei, wie? In welchem Semester bist Du ueberhaupt, dass Du so bescheid weiss? Oder studierst Du etwa sowas wie Mathematikgeschichte?
viele Gruesse
SpockGeiger |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Mai, 2000 - 09:43: |
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Dicke Post für Spock G:
Trigonometrische Auflösung kubischer Gleichungen
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Hi Martin,
Zu Anfang möchte ich auf Deine Fragen eher persönlicher Art
ganz kurz eingehen.
Ich bin momentan im 115- ten Semester (in Worten: einhundertfünfzehn) , gewissermassen als Werkstudent !
Mein nach oben beschränktes Wissen in Mathematik lasse ich nicht gerne
brach liegen, damit lässt sich mein Engagement an diesem Board
einigermassen erklären. Ich hoffe, dass dies noch einige Zeit,
mindestens bis zum 120-ten Semester, anhält.
Aber nun zur Sache.
Die Art der folgenden Herleitung der Methode der trigonometrischen
Auflösung kubischer Gleichungen ist ausgesprochen spannend;
ich möchte Dir diese Herleitung keinesfalls vorenthalten.
Es werden Methoden der Analytischen Geometrie des Raumes,
inklusive orthogonale Transformationen, eingesetzt.
Als Vorbereitung lösen wir eine Aufgabe bezüglich einer
Koordinatentransformation im R3:
Gegeben ist ein orthonormiertes Koordinatensystem (x,y,z) des Raumes.
Ein neues orthonormiertes System (x',y'.z') ist wie folgt gegeben:
Die beiden Nullpunkte O und O' fallen zusammen
Die neue (x',y')-Ebene ist die Ebene E,die im alten System die Gleichung
y + y + z = 0 hat und zwar liege die x'-Achse auf der Schnittgeraden der
Ebne E mit der alten (x,y)-Ebene .
Wir präzisieren das Gesagte durch Angabe der Basiseinheitsvektoren
Im alten System seien dies die Vetoren e1,e2,e3 , im neuen e1',e2',e3'.
Es gilt :
e1' = - wurzel(2) / 2 * e1 + wurzel(2) / 2 * e2
e3' = wurzel(3) / 3 * ( e1 + e2 + e3 ), damit lässt sich e2' als
Vektorprodukt berechnen (Beachte die Reihenfolge der Faktoren!)
e2' = e3 x e1 = wurzel(6) / 6 * ( - e1 - e2 + 2 * e3 )
Mit diesen Angaben lassen sich die Transformationsmatrix
und ihre Inverse leicht aufschreiben;
die Matrizen sind beide, wie es sich ziemt, orthogonal
Wir drücken die alten Koordinaten (x/y/z) eines Punktes P
durch die neuen Koordinaten (x'/y'/z') aus: es kommt:
x = - wurzel(2) / 2 * x' - wurzel(6) / 6 * y' + wurzel(3)/ 3 * z'
y = wurzel(2) / 2 * x' - wurzel (6) / 6 * y' + wurzel(3) / 3 * z'
z = wurzel (6) / 3 * y' + wurzel(3) / 3 * z'
Beachte die Spaltenvektoren ! Es treten die vorher ermittelten neuen Basiseinheitsvektoren auf ; genau , wie es sein muss.
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Wir lösen noch eine weitere Teilaufgabe als Vorbereitung zu
späterem frohen Tun !
In der Ebene E : x + y + z = 0 liege ein Kreis k,
Mittelpunkt in O, mit dem Radius R.
Man soll die Gleichung dieses Kreises bezüglich des alten
Koordinatensystem herleiten.
Lösung
Im neuen System lautet eine Parametergleichung von k so:
x' = R cos t (Parameter t läuft und läuft !)
y' = R sin t
z' = 0
im alten System heisst das so :
x = - R * wurzel (2) / 2 * cos t - R * wurzel (6) / 6 * sin t
y = R * wurzel (2) / 2 * cos t - R * wurzel (6) / 6 * sin t
z = R * wurzel ( 6 ) / 3 * sin t
Wir nennen dieses Gleichungssystem (K)
Nach diesem Prolog kehren wir zu den kubischen Gleichungen zurück
Wir lösen die reduzierte kubische Gleichung:
x ^ 3 - p * x + q = 0 und setzen voraus, dass p positiv ist
(beachte das Minuszeichen bei p in der gegebenen Gleichung !)
Die drei reellen Lösungen seien x , y , z ;
sie werden - das ist der Clou - als Koordinaten eines Punktes
P ( x / y / z ) des dreidimensionalen Raumes aufgefasst.
Nach Vieta für kubische Gleichungen gilt dann der Reihe nach :
(1) : x + y + z = 0
weil der Koeffizient des quadratischen Gliedes null ist
Der Punkt liegt also in der vordem erwähnten Ebene E
(2) : x * y + y * z + z * x = - p
Diese Gleichung formen wir noch ein wenig um; wir rechnen
(x+y+z)^2 - 2 (xy + y*z + z*x ) = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2
Die erste Klammer ist aber null, die zweite stellt - p dar , sodass die
Gleichung entsteht:
x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 2 p
Dies bedeutet aber , dass P auf der Kugel k liegt mit Zentrum in O
und Radius R = wurzel (2p).
(3) Die dritte Vieta'sche Beziehung besagt:
x * y * z = - q
Fasst man die Resultate aus (1) und (2) zusammen (Ebene /Kugel),
so weiss man nun, dass P auf dem Grosskreis der Kugel mit dem
Radius R = wurzel (2*p) liegt, und zwar wegen (3) handelt es sich
um jene Kreispunkte, für welche
die Beziehung x * y * z = -q gilt.
Diesen Sachverhalt wollen wir in einem zweiten Teil
dieser Ausführungen realisieren.
Fortsetzung folgt ! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Mai, 2000 - 12:34: |
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Fortsetzung unter dem Motto: Wir ernten ,was wir gesät haben!
Hi Martin,
Wir bilden das Produkt x * y * z ( benütze das System (K)
und ersetze dabei R durch wurzel(2p) ! ) :
x*y*z = - q = - [ p*cos^2 (t) - p/3 * sin^2 (t)]* 2 *wurzel(p/3) *sin t
also:
wurzel((p/3)^3) * sin t * [ 3 * cos ^2 (t) - sin ^2(t)] = q / 2.
Der Term sin t * [....] kann durch sin (3*t) ersetzt werden !
Somit erhalten wir die vereinfachte Gleichung:
sin ( 3 * t ) = ( q / 2 ) / wurzel ((p/3)^3) (Gleichung S)
Mit dem aus dieser Gleichung gewonnenen Wert für t
und dem System (K) finden wir die Lösungen x , y, z
unserer Gleichung wie folgt:
x = - wurzel(p) * cos t - wurzel(p/3) * sin t
y = wurzel(p) * cos t - wurzel(p/3) * sin t
z = 2 * wurzel(p/3) * sin t.
Als Uebung lösen wir die folgende Gleichung:
x^3 - 3 x + 2 = 0 ,
es ist p = 3 und q = 2
Für t erhalten wir die Gleichung:
sin (3 t) = (1 / 2 ) / wurzel (1) = 1 , also t = 30° , damit erhalten wir
die Lösungen:
x = - wurzel (3) * cos 30° - sin 30° = - (3 / 2 + 1 / 2) = - 2
y = wurzel (3) * cos 30° - sin 30° = 3 / 2 - 1 / 2 = 1
z = 2*sin 30° = 2* ( 1 / 2 ) = 1
Alles o.k. !
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Zum Schluss noch zwei Bemerkungen
1. Damit reelle t-Werte aus der Gleichung (S) entstehen, muss die
Ungleichung absoluter Betrag (sin (3t)) kleiner gleich 1
erfüllt sein; dies bedeutet aber
4* p^3 - 27 * q^2 > = 0 , dh. die früher eingeführte Diskriminante
muss negativ sein .
Mit dieser trigonometrischen Methode lässt sich also genau der
Casus irreduzibilis lösen .
Mit diesen Ausführungen hat sich somit der Kreis
unserer Betrachtungen auf wundersame Weise geschlossen !
2 Ein klein wenig Historie.
François Viète ( 1540 / 1603) , latinisiert Vieta, war hauptberuflich
Jurist (sic !). Daneben war er Hobby-Algebraiker und brachte es mit
Mathematik zu grösserem Ansehen als mit seinem Brotberuf. (das soll
vorkommen) .
Neben den nach ihm benannten Koeffizientensätzen (1591)
begründete er die tigonometrische Methode zur Auflösung
kubischer Gleichung.
Die hier vorgeführte Methode mittels räumlicher Geometrie
wurde erst später entwickelt.
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Viel Profit beim Studium diese Ausführungen wünscht Dir
Hans Rudolf Moser
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