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Beitrag |
    
Janine Schmidt (Jessy)
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Mai, 2000 - 17:38: | 
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Hallo,
ich bin total verzweifelt. Ich hoffe Ihr könnt mir schnell helfen.
Aufgabe:
Eine punktsymmetrische Funktion 5.Grades hat im Ursprung die Tangente y = 7x und in P( 1/0 ) einen Wendepunkt.
Dazu benötige ich die Parameterberechnung, die Kurvendiskussion und die komplette Zeichnung.
Ich danke Euch schon mal im vorraus.
Jessy |
Ingo
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Mai, 2000 - 22:09: |
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Ansatz(wegen Punktsymmetrie) :
f(x)=ax5+bx3+cx
Bedingungen
f '(0)=7 Þ c=7
f ''(1)=0 Þ 20a+6b=0
f(1)=0 Þ a+b+c=0
Lösung
c=7 ist klar,dann kannst Du b=-c-a=-7-a einsetzen.
20a-42-6a=0 Þ a=42/14=3
Þ b=-7-3=-10
also f(x)=3x5-10x3+7x
Nullstellen
f(x)=x(3x4-10x2+7)=x(x2-1)(3x2-7}
Also xÎ{-1;-Ö(7/3);0;Ö(7/3);1}
Extremstellen
f '(x)=15x4-30x2+7=0 => x2=1±Ö(8/15)
Wendestellen
f ''(x)=60x3-60x=60x(x2-1)
Wendestellen sind x=0 , x=-1 und x=1 |
Janine Schmidt (Jessy)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Mai, 2000 - 13:26: |
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Vielen Dank für Deine Hilfe !
Aber ich habe noch eine Frage: Wie finde ich am besten die Bedingungen heraus? Weil damit habe ich große Schwierigkeiten.
Jessy |
Ingo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Mai, 2000 - 23:02: |
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Das ist eigentlich auch immer das größte Problem bei derartigen Aufgaben.Mal ein Paar grobe Anhaltspunkte :
- Wenn von einem Punkt P(a/b) die Rede ist,lautet die Bedingung f(a)=b,
- Wenn von Tangente die Rede ist,mußt Du f' betrachten,
- Wenn von Wendestelle oder Wendepunkt die Rede ist,ist die Bedingung f''=0
Das ganze kann natürlich auch verschachtelt auftreten :
f hat an der Stelle 3 die Wendetangente y=2x
Hierin sind insgesamt drei Informationen versteckt :
1) f'(3)=2 [Wegen y=2x als Tangente]
2) f''(3)=0 [Wegen Wendetangente]
3) f(3)-3*f'(3)=0 => f(3)=6
[allgemeine Tangentengleichung t(x)=f(a)+(x-a)f '(a) mit t(x)=2x gekoppelt]
Ich hoffe das hilft Dir ein wenig weiter.
Vielleicht probierst Du nochmal folgendes Beispiel aus :
Eine Funktion vierten Grades,die symmetrisch zur y-Achse verläuft,hat im Punkt(0/-1) ein lokales Minimum.Außerdem berührt die Gerade y=16x-10 den Graphen der Funktion im Punkt (1/6).
Kriegst Du die Bedinungn jetzt allein heraus ? |
Janine Schmidt (Jessy)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Mai, 2000 - 19:44: |
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Hallo Ingo,
das hat mir sehr weiter geholfen.
Hier habe hier noch ne Aufgabe, kontrolliere sie bitte, ob sie so richtig ist.
Eine ganzrationale Funktion 4.Grades hat im Ursprung eine waagerechte Tangente und im Punkt P(-2/2 ) einen Wendepunkt. Hier ist die Steigung des Graphen 0!
Wie lautet die Funktionsgleichung?
Meine Lösungen: f(x)= ax(hoch 4)+ bx³+cx²+dx+e
f(0)=0 e=0
f(-2)=2 16a-8b+4c=2
f"(-2)=2 48a-12b+c=0 (f"(x)=12ax²+6bx+c )
f'(-2)=0 -32a+12b-2c=0 (f'(x)=4ax³+3bx²+cx )
f'(0)=0 d=0
Jetzt habe ich ein weiteres Problem und zwar sollen wir das Eliminationsverfahren anwenden und ich kann es einfach nicht. Könntest Du es mir bitte erklären. ( Auch Richtlinien ).
Vielleicht gibt es noch andere Möglichkeiten die Funktionsgleichung heraus zubekommen.
Daaaaaannnnnnnnkkkkeeeeeeee!!!
Jessy |
Ingo
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Mai, 2000 - 02:35: |
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Bei der 4.Bedingung ist die Ableitung nicht ganz korrekt : f '(x)=4ax3+3bx2+2cx
die drei Bestimmungsgleichungen lauten also
(1) 16a-8b+4c=2
(2) 48a-12b+2c=0
(3)-32a+12b-4c=0
Das Eliminationsverfahren geht nun davon aus,daß man dieses System durch addieren der Gleichungen miteinander oder einem vielfachen davon auf eine Diagonalform bringen kann.
Erster Schritt : (2)-3*(1) und (3)+2*(1)
(1) 16a-8b+4c=2
(4) 12b-10c=-6
(5) -4b+4c=4
Zweiter Schritt : (4)+3*(5)
(1) 16a-8b+4c=2
(6) 12b-10c=-6
(7) 2c=6
Jetzt kann man die Lösung direkt ablesen :
c=3 Þ b=2 Þ a=6/16=3/8 |
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