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Hilfe!!! Extremwert! Dringend: ABI am...

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QHF
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Veröffentlicht am Montag, den 08. Mai, 2000 - 15:36:   Beitrag drucken

Kann mir bitte jemand dieses Beispiel erklären:

Gegeben sind der Radius und die Höhe eines Drehkegels. In diesen Kegel ist ein zweiter so eingeschrieben, dass die Spitze des zweiten Kegels im Mittelpunkt des Basiskreises des ersten Kegels zu liegen kommt. Das Volumen des eingeschriebenen Kegels soll maximal werden...

Danke!
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Montag, den 08. Mai, 2000 - 22:09:   Beitrag drucken

Hi ,

Der gegebene Kegel habe den konstanten Radius R und
die konstante Höhe H.
Der eingeschriebene Kegel habe den variablen Radius r
und die variable Höhe h.
Zwischen diesen vier Grössen besteht auf Grund des
zweiten Strahlensatzes ( auch zweiter Proportionalsatz genannt )
die Beziehung:
r / R = (H-h) / H. Aus dieser Beziehung berechnen wir h ,
ausgedrückt durch r und R , H.
Wir erhalten nach leichter Rechnung :
h = H * (R - r ) / R ; diese sogenannte Nebenbedingung
sei mit (N) bezeichnet.
Das Volumen V des eingeschriebenen Kegels beträgt
V = Pi / 3 * r ^ 2 * h ; wir ersetzen darin h gemäss (N)
und erhalten V als Funktion von r allein (R und H sind ja Konstanten )
V = V( r) = Pi / 3 * r ^2 H*(R-r) / R = Pi *H / (3 * R) * [R * r^2 - r^3]
Die positiven Faktoren vor der eckigen Klammer dürfen
bei der Extremaluntersuchung weggelassen werden
Es genügt völlig , die Funktion f ( r ) in der eckigen Klammer
allein zu untersuchen ;wir leiten f ( r ) = R * r ^2 - r ^ 3 nach r ab
und erhalten: f ' ( r ) = 2*R*r - 3 * r ^2 = 0 ;
da r nicht null ist, erhalten wir für unser Extremum, welches sich als ein Maximum herausstellen wird:
r = 2 / 3 * R , weiterhin gilt in diesem Fall
(Ergebnis durch Einsetzen in (N):
h = 1 / 3 * H
Dass es sich um ein Maximum handelt , zeigt die zweite Ableitung von
f ( r ) nach r:
f '' ( r ) = 2*R -6*r ; wir erhalten für r = 2/3 * R
einen negativen Wert für die zweite Ableitung ,nämlich -2 * R.
Das maximale Volumen des eingeschriebenen Kegels beträgt, wie eine kleine Rechnung zeigt :
Vmax = 4 / 27 * Pi /3 * R^2 * H
Die Volumina der beiden Kegel, des eingeschriebenen im Extremalfall und
des gegebenen ,verhalten sich somit wie 4 : 27 .Dies bloss als Zusatzbemerkung, gewissermassen " hors concours " !

Gut ABI wünscht
H.R.

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