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Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Mai, 2000 - 11:02: | 
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Hallo, habe Probleme mit folgender Aufgabe:3)
Im Jahre 1995 hatte ein Land 20 Millionen Einwohner. Infolge einer geringen Geburtenzahl
nimmt die Bevölkerung momentan 0,1 % jährlich ab. Andererseits nimmt das Land in jedem Jahr 28000 Einwanderer auf.
a)Zeige: Ist f(t) die Einwohnerzahl (t: Jahre seit 1995), so gilt f'(t)=28000 - 0,001*f(t)
b)Wie viele Einwohner hatte das Land 1990? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Mai, 2000 - 16:59: |
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Hi Anonymus,
Das von Dir vorgelegte Problem segelt im englischen Sprachraum
unter der Bezeichnung
" BIRTH - AND - IMMIGRATION PROCESS "
Die unter a) notierte Differentialgleichung erklärt sich von selbst ;
die rechte Seite stellt genau die genannten Komponenten dar ; der erste Summand bezieht sich auf "immigration", der zweite auf "birth".
Man beachte , dass der negative Faktor bei f(t) die Zerfallskonstante
(negative Wachstumsrate ) darstellt und bei 0.1% Abnahme pro Jahr
mit -10^ (-3) einzusetzen ist. Der erste Summand steht für
die jährliche konstante Zunahme.
Um die Frage b) zu beantworten , lösen wir die vorgelegte
Differentialgleichung; es handelt sich um eine inhomogene
lineare DGL erster Ordnung, die wir mittels der Konstanten
L und n etwas allgemeiner anschreiben, nämlich:
f ' (t) = L * f(t) + n ( für unserem Beispiel ist L = - 0.001 , n = 28 *10^3)
Wir lösen zuerst die homogene Gleichung durch Separation der Variablen:
f ' (t) = L * f(t) ; aus f '(t) / f(t) = L folgt zunächst
ln ( f ( t ) ) = L* t + c , also f(t) = C * e ^ (L*t)
( c , C sind Integrationskonstanten )
Zu dieser allgemeinen Lösung der homogenen DGL addieren wir eine
beliebige einzelne Lösung der inhomogenen DGL.,
um durch diese Ueberlagerung die allgemeine Lösung der inhomogenen
DGL zu erhalten
Wie aber bekommen wir eine solche partikuläre Lösung der
inhomogenen DGL ??
Ganz einfach ! wir setzen als Lösung eine Konstante K an .
Dieser Ansatz wird in die inhomogene DGL eingesetzt unter Beachtung,
dass K ' = 0 gilt. Es kommt:
0 = L * K + n , daraus als einzelne Lösung der inhomogenen Gleichung:
K = - n / L , somit lautet die allgemeine Lösung der gegebenen
vollständigen Gleichung :
f( t ) = C * e ^ (L * t) + K = C * e ^ ( L* t ) - n / L .
Nun soll die Integrationskonstante C durch die Anfangsbedingung
festgelegt werden, ,dass für t = 0 gelten soll: f(0) = f° .
Wir erhalten durch Einsetzen des Wertes t = 0 sofort:
C = f° + n / L ; die Funktionsgleichung für f(t) lautet somit:
f (t) = (f° + n / L) * e ^ ( L* t ) ,oder mit den gegebenen numerischen Werten für f° = 20 * 10^6 und für n, L (siehe oben):
f(t) = 10 ^ 6 * { 28 - 8* e ^ ( - 0.0001 * t ) }
Wenn man sich für das Jahr 1990 interessiert , hat man t = - 5 zu setzen und erhält das Resultat
f ( -5 ) = 10 ^6 * 19.959900 = 19'959'900
Damit ist die Aufgabe hoffentlich zu Deiner Zufriedenheit gelöst !
Mit freundlichen Grüßen.
HR |
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