| Autor |
Beitrag |
    
Nadja (missnad)
Neues Mitglied
Benutzername: missnad
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Mai, 2003 - 16:57: | 
|
Hallo!
Ich habe gerade in Mathe Extremalrechnungen und habe eine Hausaufgabe auf, die ich nicht lösen kann, ich hoffe mir kann jemand helfen.
Die Aufgabe:
Ein Tunnel soll die Form eines Rechteckes mit aufgesetztem Halbkreis erhalten.Wie groß ist die Querschnittsfläche maximal, wenn der Umfang des Tunnels 20m betragen soll?
|
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1298
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Mai, 2003 - 17:21: |
|
Hi Nadja
Erstmal nehmen wir folgende Bezeichungen.
Grundseite des Tunnels sei a(d.h. die waagerechte Seite des Rechtecks), die senkrechte Seite sei b. Radius des (Halb)Kreises ist r.
Wir wissen, dass der Halbkreis aufgesetzt ist, also gilt:
r=1/2*a
Damit können wir schonmal die Querschnittsfläche des Tunnels berechnen:
A=a*b+1/2*pr²
=ab+1/8*pa²
Des Weiteren steckt noch ein Hinweis im Umfang. Es gilt:
a+2b+pr=20
<=>a+2b+1/2*pa=20
<=> b=(-1/4*p-1/2)a+10
Das setzen wir mal oben in die Formel für die Querschnittsfläche ein, damit erhalten wir die Fläche in Abhängigkeit von a.
A(a)=a²(-1/4*p-1/2)+10a+1/8*pa²
=(-1/8*p-1/2)a²+10a
Wie man schon sieht ergibt sich eine nach unten geöffnete Parabel. Du kannst die Funktion jetzt einfach nach a ableiten und gleich 0 setzen, dann bekommt du den Extrempunkt, d.h. den Wert für a, dass die Querschnittsfläche maximal wird. Damit rechnest du dann noch b aus und schließlich die Querschnittsfläche. Ich erhalte als Ergebnis
Amax=28,005...m²
Hoffe mal ich hab mich nicht verrechnet.
MfG
C. Schmidt
|
|
