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Nadja (missnad)
Neues Mitglied
Benutzername: missnad
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Mai, 2003 - 14:34: | 
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Hallo!
Ich habe gerade in Mathe Rekonstruktionen und kann folgende Aufgaben nicht lösen:
1.) -Gleichung bestimmen
Der zur y-Achse symmetrische Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades geht durch
P(0/2)und hat bei x=2 ein Extremum. Er berührt dort die x-Achse.
2.) Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung
und schneidet den Graphen von g(x)= 1/2(4x³+x) im Ursprung senkrecht. Ein zweiter Schnittpunkt mit g liegt bei x=1. Wie lautet die Funktionsgleichung?
Ich hoffe mir kann am besten heute noch jemand helfen. Danke schon mal. |
Beatrice (jule_h)
Mitglied
Benutzername: jule_h
Nummer des Beitrags: 27
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Mai, 2003 - 15:32: |
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Hallo Nadja,
zu1.) wenn der Graph y-achsensymmetrisch ist hat die Funktion die allgemeine Gleichung f(x)=ax^4+bx²+c.
Wenn er durch P geht, ist f(0)=2, also c=2.
Wenn er bei 2 die x-Achse berührt, ist f(2)=0, also a*2^4+b*2^2+c=0 oder 16a + 4b +2=0 ( mit c=2).
Außerdem hat der Graph bei x=2 eine waagrechte Tangente, also ist f'(2)=0. f'(x)=4ax³+2bx, also ist f'(2)=32a + 4b. Es ist also 32a + 4b =0.
Damit hast du zwei Gleichungen mit a und b, die du am besten von einander subtrahierst. Das liefert b = -1 und dann b eingesetzt: a = 1/8.
Die Funktionsgleichung lautet also
f(x)=1/8x^4-x²+2.
zu2.) Wenn der Graph ursprungssymmetrisch ist hat die Funktion die allgemeine Gleichung
f(x)=ax³+bx.
Wenn sie g in 0 senkrecht schneidet, gilt f'(0)=-1/g'(0). Also leitest du g ab und setzt 0 in die Ableitung ein, erhältst damit g'(0)=0,5. Also ist f'(0)=-2.
f'(x)= 3ax²+b, f'(0)= b, also b=-2.
Wenn ein weiterer Schnittpunkt bei x=1 ist, gilt g(1)=f(1). g(1)=2,5. f(1)=a+b = a-2. Es ist also a-2=2,5 und somit a=4,5.
Die Funktionsgleichung ist demnach f(x)=4,5x³-2x. |
Evi (eviii)
Mitglied
Benutzername: eviii
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Mai, 2003 - 16:01: |
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Hallo,
Zu1)
allg.Gleichung einer Polynomfunktion 4.-Grades:
f(x)= ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
f'(x)= 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d
Gleichung im Punkt P(0|2):
I)f(0)= 2 => e = 2
Gleichung für Extremum bei x=2:
II)f'(2)=0 => 32a + 12b + 4c + d = 0
Gleichung für den Punkt E(2|0):
III)f(2)=0 => 16a + 8b + 4c + 2d + e =0
Aufgrund der Symmetrie zur y-Achse fallen alle Faktoren mit ungradzahligen Exponenten weg:
b=0; d=0
Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten ist lösbar.
Lösung: a=1/8; c=-1; e=2
f(x)= 1/8*x^4 - x^3 + 2
Zu 2)
f(x)= ax^3+bx^2+cx+d
Bei punktsymmetrischen Funktionen fallen die Faktoren aller gradzahligen Exponenten weg.
b=0;d=0
Den Rest solltest du selbst lösen können
Gruß Evi |
Nadja (missnad)
Neues Mitglied
Benutzername: missnad
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Mai, 2003 - 20:00: |
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Danke hast mir sehr geholfen!!!! |
Chris
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Februar, 2016 - 19:30: |
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An alle, die das heute noch lesen. Ich denke, das Beatrice (jule h) einen Fehler gemacht hat.
Unsere Mathelehrerin meinte, dass f'(0) = g'(0) sei, wie auch f(0)=g(0) ist.
Das sollte man bei der Rechnung beachten. |
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