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gemuse (gemuse)
Junior Mitglied
Benutzername: gemuse
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. April, 2003 - 16:58: | 
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Hi!
Ich hab mal ne Frage:
Ich blicks eigentlich schon, also mir ist klar, dass ne Funktion nur ne Extremstelle haben kann, wenn die erste Ableitung = 0 ist. Mir ist auch klar, dass nur dann ein lokales Minimum bzw. Maximum vorliegt, wenn f ' (x) einen Vorzeichenwechsel hat.
Aber ich hab das mit der zweiten Ableitung noch net ganz verstanden. Warum darf die nicht gleich 0 sein? und warum liegt, wenn f '' (x) < 0 ist ein lok Maximum vor und wenn f ''(x) > 0 ist ein lok. Minimum vor??
Wenn man überprüfen will, ob eine Funktion eine Extremstelle hat, könnte man doch auch einfach die Nullstellen von f ' (x) bestimmen und dann nen Funktionswert links von x0 und rechts von x0 bestimmen und somit wüsste man doch auch, ob ein lok. minimum bzw Maximum vorliegt....
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Stefan Ott (sotux)
Mitglied
Benutzername: sotux
Nummer des Beitrags: 32
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. April, 2003 - 21:51: |
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Im Prinzip hast du recht, aber wo genau links und rechts würdest du nachsehen ? Das müsste schon sehr nah dran sein um einigermaßen sicher zu sein, dass sich da nichts mehr dran ändert. Wenn die Funktion hinreichend gutartig ist, kann man das machen.
Das mit der zweiten Ableitung ist nur hinreichend, aber nicht notwendig. Entscheidend für das Verhalten der Funktionswerte in einer kleinen Umgebung der Nullstelle von f' ist die erste Ableitung, die nicht verschwindet, das sieht man leicht an der Taylor-Entwicklung von f an dieser Stelle. Wenn der Grad dieser Ableitung gerade ist, dann liegt ein lokales Extremum vor, ist sie ungerade, hat man einen Sattelpunkt. |
Martin (specage)
Neues Mitglied
Benutzername: specage
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 08:21: |
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Hallo, zu der zweiten Ableitung möchte ich sagen, dass diese das Krümmungsverhalten der Funktion in einem Punkt angibt. Schau dir doch dazu mal die Normalparabel an. Diese hat von links kommend eine Linkskrümmung, also entgegen dem Uhrzeigersinn. Da dies mathematisch die positive Richtung ist, ist im Tiefpunkt die Krümmung positiv, also f''(x)>0.
Analog ist bei einem Hochpunkt die Krümmung negativ, also im Uhrzeigersinn, also f''(x)<0.
Ich hoffe, das hilft dir etwas weiter bezüglich der zweiten Ableitungen. |
Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 613
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 11:56: |
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Ich versuche noch mal eine anschaulichere Begründung: Dir ist sicher bekannt, daß f'(x) die Steigung von f an der Stelle x angibt. Weiterhin wirst Du wissen, daß f'' nichts anderes als die Ableitung von f' ist. Folglich gibt f'' die Steigung von f' an.
Haben wir nun einen Stelle gefunden, in der f die Steigung 0 hat (f'(x)=0), so gibt uns die zweite Ableitung an, wie der Graph von f' sich in dieser Nullstelle verhält. Ist f''(x)>0, so steigt f' an und muß somit links von der Nullstelle kleiner als 0 und rechts von der Nullstelle größer als 0 sein. Das wiederum bedeutet, daß f links von der Nullstelle fällt und rechts ansteigt. Also liegt ein Minimum vor. (Begründung für f''(x)<0 analog)
Problematisch wird es halt nur, wenn auch f''(x)=0 ist.
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gemuse (gemuse)
Junior Mitglied
Benutzername: gemuse
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 16:38: |
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hmmm, also mir sind schon n paar Sachen klarer, aber ich hab leider immernoch net ganz verstanden, warum wenn f ''(x) >0 ist ein Minumum vorliegt und wenn f ''(x) <0 ist ein Maximum vorliegt.
Machen wir mal ein Beispiel:
f(x) = x²
=> f'(x) = 2x
f'(x) = 0
=> 2x = 0
x = 0
Also ist an der Stelle x = 0 ein Extremwert, fragt sich nur Maximum oder Minimum.
f''(x) = 2
f''(0) = 2 >0 => Minimum
und die letze Zeile versteh ich nicht, warum ist das jetzt ein Minumum... wenn das Ergebnis größer null ist
gemuse |
Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 614
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. April, 2003 - 18:11: |
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Hast Du meinen Text vollständig gelesen?
Ist f ''(x)>0, so steigt f ' an und muß somit links von der Nullstelle kleiner als 0 und rechts von der Nullstelle größer als 0 sein. Das wiederum bedeutet, daß f links von der Nullstelle fällt und rechts ansteigt. Also liegt ein Minimum vor.
In deinem Beispiel ist f''(0)=2, also hat f ' in (0;0) die Steigung 2. Das ist aber nur möglich, wenn f ' links von x=0 kleiner als Null und rechts von x=0 größer als Null ist. Da f ' die Steigung von f ist muß f also links von x=0 gefallen sein(da f '(x)<0) und rechts von x=0 ansteigen(f '(x)>0).
Wenn f aber erst fällt und dann wieder ansteigt, muß der Punkt dazwischen logischerweise ein lokales Minimum sein.
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gemuse (gemuse)
Junior Mitglied
Benutzername: gemuse
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Mai, 2003 - 13:31: |
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oh man! ist ja klar! Weiß auch net warum ich so nen Blackout hatte, ist mir bisher nur selten passiert (in mathe).
Aber was solls, dank eurer Hilfe hab ichs verstanden
Vielen Dank ;) |
gemuse (gemuse)
Junior Mitglied
Benutzername: gemuse
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Mai, 2003 - 10:45: |
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Jetzt hab ich doch noch mal ne kleine Frage dazu...
Eigentlich brauch ich doch die zweite Ableitung doch nicht unbedingt,
Wenn ich z.B. f(x) = x²hab und die erste Ableitung bilde -> f '(x) = 2x, dann erkenn ich doch schon allein am Graphen der ersten Ableitung, das der Punkt P(0|0) ein lokales Minimum sein muss, da für x<0 f '(x)<0 ist, und für x>0 f '(x)>0 ist...
Im Prinzip würde es doch auch ausreichen nur den Graphen der 1. Ableitung anzuschauen oder?
Ich hab noch ne Funktion, die ja eigentlich ein lokales Minimum hat => f(x) = x^4
f '(x) = 4x³
f ''(x) = 12x²
Ich setzte f '(x) = 0
=> 4x³ = 0
x = 0
-> f ''(0) = 12*0² = 0
Nun ist die zweite Ableitung auch gleich null, aber wenn man den Graphen zeichnet, so erkennt man doch, dass es ein lokales Minimum gibt... Warum geht das dann so nicht??
gemuse
(Beitrag nachträglich am 03., Mai. 2003 von gemuse editiert) |
Jabberwocky (jabberwocky)
Mitglied
Benutzername: jabberwocky
Nummer des Beitrags: 18
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Mai, 2003 - 10:55: |
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Ja, ist korrekt. Das ist das sogenannte Kriterium des Vorzeichenwechsels:
f'(x) wechselt das Vorzeichen von + nach - : Hochpunkt; f'(x) wechselt das Vorzeichen von - nach +: Tiefpunkt!
Allerdings ist dieses Kriterium öfter schwerer nachzuweisen als f''(x) zu bestimmen!! (Man bräuchte je nach schwere der Funktion die Signum-Funktion, die auch nicht ganz ohne ist! Bei f(x)=x^2 ist es natürlich sehr simpel!) |
Jabberwocky (jabberwocky)
Mitglied
Benutzername: jabberwocky
Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Mai, 2003 - 10:56: |
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Bemerkung: Nix anderes gibt übrigens f''(x) an:
Ist f'(x) = 0 und f''(x) < 0, dann wechselt f'(x) das Vorzeichen von + nach - , weil die Steigung ja negativ ist! Und ist f''(x) > 0, dann wechselt f'(x) das Vorzeichen von - nach +, weil die Steigung positiv ist! |
Stefan Ott (sotux)
Mitglied
Benutzername: sotux
Nummer des Beitrags: 40
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Mai, 2003 - 22:03: |
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Alternativ kannst du einfach weiter ableiten:
f'''(x)=24x (auch noch Null bei x=0), aber dann
f''''(x)=24 > 0 , Zahl der Ableitungen ist 4, also gerade , also liegt ein Minimum vor.
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