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Strixx (strixx)
Neues Mitglied
Benutzername: strixx
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. April, 2003 - 13:22: | 
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Hallo zusammen,
bei folgender Aufgabe könnte ich gut ein bisschen Hilfe gebrauchen:
Welche Bedingungen müssen für die Parameter a,b,c,d erfüllt sein, damit der Graph der Funktion f mit f(x)=ax^3+bx^2+cx+d keinen Wendepunkt hat?
Habe mir zunächst die Bedingungen für Wendepunkte angeschaut: notwendig f''(x)=0, hinreichend f'''(x)<>0
dann die Ableitungen gebildet:
f'(x)=3ax^2+2bx+c
f''(x)=6ax+2b
f'''(x)=6a
wenn meine Funktion keinen Wendepunkt haben darf, muss doch gelten (notwendig) f''(x)<>0
also 6ax+2b<>0 oder 3ax+b<>0, was ja bedeutet, dass diese Gerade keinen Schnittpunkt mit der x-Achse haben darf, also muss die Steigung Null sein, also 3a=0 und damit a=0
dann gilt weiter f''(x)=2b (Parallele zur x-Achse, oder?), also kann b beliebig sein
und c,d auch beliebig
wenn aber a=0 ist bleibt ja für die Ausgangsfunktion nur ein Polynom 2. Grades. Bin ich irgendwo falsch abgebogen, oder hat ein Polynom 3.Grades immer einen Wendepunkt?
Außerdem habe ich die hinreichende Bedingung nicht verwendet - fehlt noch etwas an der Lösung?
Würde mich über Unterstützung wirklich freuen!!
Danke Strixx} |
Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 429
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. April, 2003 - 17:09: |
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Hallo
Also:
f''(x)=6ax+2b soll ungleich 0 sein.
<---> x ungleich -(1/3)* b/a
(a darf nicht 0 werden!!)
Das langt doch schon.
Die 3.Ableitung kannst du dann getrost beiseite lassen...
MfG Klaus
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Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 592
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. April, 2003 - 15:42: |
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f ''(x)¹0 "x ist zwar hinreichend, aber nicht notwendig für die NICHT-Existenz von Wendestellen.(Vergl. f(x)=x5)
Um wirklich alle Möglichkeiten zu erfassen, müssen prinzipiell auch höhere Ableitungen mit einbezogen werden, oder man zieht das Vorzeichenwechselkriterium heran.
Da f'' für a¹0 eine Gerade ist, wechselt sie in jedem Fall das Vorzeichen in ihrer Nullstelle, so daß automatisch jede Nullstelle von f'' auch gleichzeitig Wendestelle von f wäre.
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