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Tobias
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Mai, 2000 - 17:18: | 
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Hallo Miteinander,
wer kann mir die Kettenregel beweisen ?? |
SpockGeiger
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Mai, 2000 - 23:10: |
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Hi Tobias, ich hoffe, man kann die Grafik halbwegs erkennen:
\image {kette1}
\image {kette2}
Der Grenzwert am Ende existiert wegen der Differenzierbarkeit der beiden Funktionen, und wegen der Produktregel.
MfG
SpockGeiger |
SpockGeiger
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Mai, 2000 - 23:14: |
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Hi Tobi
Tut mir leid, dass irgendwie das mit Grafiken nicht klappt, also mal verbal:
Nehme den Differnzenquotienten, und erweitere ihn mit g(x)-g(x0), wobei g die innere Funktion ist, wenn Du das umstellst hast Du gerade den Differenzenquotienten von f(g(x)) mal den DQ von f(x)
MfG
SpockGeiger |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Mai, 2000 - 10:49: |
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Hi Tobias,
Im folgenden skizziere ich einen Beweis der Kettenregel für eine Kette
von drei differenzierbaren Funktionen :
y = f(v) , v = g(u) , u = w(x).
Dadurch ist y als eine sogenannte mittelbare Funktion F von x erklärt:
y = F(x) =f { g [ w (x) ] }.
Die Aenderung (delta x) der Variablen x von x auf x + (delta x) hat
eine entsprechende Aenderung (delta u) der Variablen u zur Folge
Es gilt: (delta u) = [w '(x) + eps] * (delta x) ,
wobei mit (delta x) auch eps gegen null geht.
(eps steht für den griechischen Buchstaben epsilon).
Dieser Aenderung (delta u) von u entspricht nach der Funktionsvorschrift
v = g(u) eine bestimmte Aenderung (delta v ) von v :
(delta v) = [g '(u) + eps1] * (delta u),
wobei mit (delta u ) auch eps1 gegen null strebt.
Dabei ist g '(u) der Wert der Ableitung an der Stelle u , welche nach der Funktionsgleichung u = w(x) der Stelle x entspricht.
Die Aenderung (delta v) bewirkt eine bestimmte Aenderung (delta y):
(delta y) = [f '(v) + eps2]* (delta v),
wobei mit (delta v ) auch eps2 gegen null geht.
Wir setzen zu einer Kettenreaktion zusammen:
(delta y) = [f '(v) + eps2] * [g '(u) + eps1] * [w'(x)+eps] * (delta x)
Mit (delta x) geht auch (delta u) und damit auch (delta v ) gegen null.
Daraus folgt, dass mit (delta x) auch die Epsilonwerte , also
eps,eps1 und eps2 gegen null streben.
Der Grenzwert eines Produktes ist gleich dem Produkt der Grenzwerte der Faktoren; somit erhalten wir nach vollzogenem Grenzübergang
(delta x) gegen null
dy / dx = lim ((delta y) / (delta x)) = f ' (v) * g ' (u) * w ' (x)
Wir erkennen sofort, dass sich der Beweisgang auf eine beliebige Anzahl Kettenglieder ausdehnen lässt.
Wir geben uns damit zufrieden, die Angelegenheit mit drei Funktionen erfolgreich beendigt zu haben !
Mit freundlichen Grüßen H.R. |
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