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Meike de Vries (Inok)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Mai, 2000 - 14:37: | 
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Ich brauche dringend Hilfe bei diesem Thema, denn der Beweis diese Satzes und alles was damit zusammen hängt ist mir zwar klar. Aber ich muss unbedingt etwas über die Bedeutung diese Satzes für die Mathematik erfahren und das wirklich dringend!!!!!!!!!!!! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Mai, 2000 - 22:14: |
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Hi Meike,
Obwohl Du die Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung (Zweiter Mittelwertsatz) samt Herleitung kennst,
soll der Satz hier im Wortlaut wiedergegeben werden, damit wir im
folgenden vom gleichen Gegenstand sprechen.
Er lautet so:
Die Funktionen f(x) und g(x) seien im abgeschlossenen Intervall J = [a,b]
stetig und im Innern von J differenzierbar. Verschwindet g ' (x) in keinem inneren Punkt von J, so gilt:
( f (b ) - f ( a ) ) / ( g ( b) - g ( a ) ) = f ' ( z ) / g ' ( z ) , z = a + theta*(b-a),
0 < theta < 1. Dieser Satz stammt übrigens, wie so vieles in der Analysis,
von Cauchy.
Ist insbesondere g(x) = x , so geht dieser Satz in den gewöhnlichen Mittelwertsatz der Differentialrechnung über, der bei vielen Anwendungen gebraucht wird, z.B. bei der Herleitung des Hauptsatzes der Integralrechnung oder bei der Herleitung der Formel für die Bogenlänge von Kurven, bei der Berechnung der Oberflächen von Rotationskörpern etc.
Fortsetzung folgt
Gruss:HR |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Mai, 2000 - 22:20: |
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Hi Meike,
Hier die Fortsetzung:
Der verallgemeinerte Satz wird namentlich beim Beweis anderer wichtiger
Sätze gebraucht
Als Beispiele seien genannt:
1. Die Herleitung der Regel von de L' Hospital-Bernoulli zur Ermittlung der sogenannten unbestimmten Formen 0 / 0 und anderer geschieht mit
Vorteil unter Benützung dieses Satzes.
2: Die Berechnung des Restgliedes der Formel von Taylor (nach Schlömilch
und Roche) benützt an einer entscheidenden Stelle den verallgemeinerten
Mittelwertsatz.
3. Die Herleitung des sog. Vergleichssatzes geschieht mit Hilfe des
zweiten .Mittelwertsatzes.
Der Vergleichssatz lautet:
Sind f ( x ) und g ( x ) zwei im Intervall (a,b) n mal differenzierbare Funktionen und gilt sowohl
f(a) = f ' (a) = f ''(a) = f '''(a) = .. f°(a) = 0 ( ° bedeutet (n-1)-te Abl.)
als auch
g(a) = g ' (a) = g ''(a) = g '''(a) =... g°(a) = 0
so gibt es Zahlen b1, b2, b3,..., bn , für welche gilt:
f (b)/g(b) = f ' (b1) / g'( b1) = f '' ( b2) /g '' ( b2) =.... = f§(bn) / g§(bn),
(§ bedeutet: n-te Ableitung) , wobei
b > b1 > b2 > ... > bn > a
Aus diesem Vergleichssatz lassen sich ohne Mühe weitere andere Sätze herleiten.
Die Reihe liesse sich wohl noch erweitern.
Für den Anfang soll dies jedoch genügen !
Mit freundlichen Grüssen
H.R. |
Manuela Marcus
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Juni, 2000 - 14:13: |
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Hallo, ich muss ein Kurzreferat über die Besonderheiten der hinreichenden Bedingung für Extremstellen/Monotonie und über den dazugehörigen Beweis halten. Ich hoffe ihr könnte mir helfen, da ich von so ewta garnichts verstehe! |
Ralf
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Juni, 2000 - 22:30: |
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Hast Du dazu schonmal hier im Board (Archiv) gesucht? Da wurde schon öfter zu geschrieben.
Ralf |
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