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pille
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. März, 1999 - 10:06: | 
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a) Welche Maße muß ein gleichschenkliges Dreieck haben, das man einem Kreis einbeschreiben kann, wenn der Flächeninhalt ein Maximum werden soll?
b.) Welches von allen gleichschenkligen Dreiecken, die man einem Kreis umschreiben kann, hat den kleinsten Umfang?
c.) Wie groß müssen die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks mit konstantem Umfang gewählt werden, damit die Hypotenusen möglichst klein werden?
Wie löse ich diese Aufgaben, wie gehe ich dabei am besten vor???? |
Bernd
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. März, 1999 - 11:17: |
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zu a)
Leider weiß ich nicht, wie man hier grafisch darstellen kann, deshalb muß ich mit Worten beschreiben:
Zeichne einen Kreis mit Radius r um den Ursprung des Koordinatensystems.
Die linke Spitze des Dreiecks liege bei x = -r, die anderen beiden bei (x|y)=(x°|y°) und (x|y)=(x°|-y°), so daß die Basis dieses gleichschenkligen Dreiecks die x-Achse bei x = x° schneidet und die Eckpunkte auf dem Kreis liegen.
Als Nebenbedingung kann man schon vorab festhalten
y°^2 + x°^2 = r^2 (Gleichung für Kreislinie)
Löse diese schonmal nach y° auf (ich weiß leider nicht, wie man hier das Wurzelzeichen konstruiert)
Nun zum Flächeninhalt des Dreiecks:
A = 1/2 * Grundseite * Höhe
Die Basis sei die Grundseite, Länge 2y°
Die Höhe hat dann die Länge x° + r
Mit der Nebenbedingung ergibt sich dann:
A = (x° + r) * Wurzel aus(r^2 - x°^2)
Dies ist eine Funktion A(x°).
Bilde ihre Ableitung nach x°, am Ende ergibt sich:
A'(x°) = dieWurzel - (x°+r)*x°/dieWurzel
[dieWurzel = Wurzel aus(r^2 - x°^2)]
Setze A'(x°)=0, um Extrema zu suchen:
Heraus kommt x°=r/2 oder x°=-r, wobei ich vermute, dass A(-r) ein Minimum ergibt. Also wird A(x°) maximal für x°=r/2. Prüfe dies bitte selber nach, z. B. durch Einsetzen in die zweite Ableitung A"(x°). Sie muß kleiner als Null sein.
Der zu x° gehörige y-Wert ist y°=(Wurzel3)*r/2 ,
die dritte Ecke liegt bei (r/2|-y°)
Somit ergibt sich, wie erwartet, ein gleichseitiges Dreieck als Lösung. |
Gerd
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. März, 1999 - 22:14: |
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Hi, wie man Bilder oder sonstige Dinge, die nicht auf der Tastatur sind einfügt, ist links unter "Formatieren" erklärt.
Ciao |
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