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Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. April, 2000 - 15:33: | 
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Hi!
Kann mir jemand sagen wie man den Schwerpunkt einer Fläche bestimmt? |
franz
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. April, 2000 - 16:59: |
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Schwerpunkt ist ein Begriff der Mechanik von Massepunktsystemen. Bei der Addition der Bewegungsgleichungen stößt man auf jenen Punkt s, bezüglich dessen sich die inneren (Wechselwirkungs-)Kräfte aufheben und der sich so bewegt, als ob die gesamten Massen in ihm vereinigt wären und alle äußeren Kräfte auf ihn wirkten. s=SUMME[i] m(i)*r(i) / M. (M:=SUMME[i] m(i); s und r vektoriell).
Für Körper/kontinuierliche Masseverteilungen (Dichte rho(r)) wird daraus die Volumen-Integration s=1/M * V-INTEGRAL r*rho(r)*dV, was sich bei homogener Masseverteilung rho=konst natürlich vereinfacht s=1/V * V-INTEGRAL rdV.
Als Flächen in diesem Sinne wird man Körper ansprechen, die "sehr dünn" sind, wo die Masse auf einer Fläche verschmiert ist. Aus dem Volumenintegral wird das Flächenintegral s=1/A * F-INTEGRAL r*dA (bei homogener Verteilung).
Für ebene Flächen in der x-y-Ebene also s=1/A * F-INTEGRAL r(x,y)*dxdy. Beispiel Rechteck 0/0, 0/b, a/0, a/b: A=ab, sx=1/(ab) *F-INTEGRAL[x=0..a,y=0..b] x dxdy=1/(ab) * INTEGRAL[x=0..a] xdx * INTEGRAL[y=0..b]dy=a/2. s(a/2;b/2) wie es sich gehört.
Beim Dreieck könnte man, Bekanntes im Hinterkopf, sich der Ecke bei A zuwenden,die x-Achse in die Seitenhalbierende legen, die y-Achse parallel zur Seite a und an der Stelle x den Flächenstreifen dx des Dreiecks betrachten. Der Beitrag dieses Streifens zur Ordinate des Schwerpunktes verschwindet (anschaulich heben sich die Teile ober- und unterhalb der x-Achse auf).
Deshalb muß der Dreiecksschwerpunkt auf dieser Linie, respektive im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden liegen. Dieses oder das analoge Problem dreier Punkte a, b und c mit gleicher Masse kann man auch vektoriell beschreiben s=(a+b+c)/2 wenn ich mich recht erinnere.
In dem genannten Sinne könnte man auch massebehaftete Kurven untersuchen.
F. |
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