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Osterhase
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. April, 2000 - 21:55: | 
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Hallo,
also ich habe da mal ein paar ganz algemeine Fragen zur Monotonie von Funktionen. Wie errechnet man das lokale/globale Minimum/Maximum? Woran erkennt man ob es sich um eine globale oder lokale Extremstelle handelt. Und wie findet man heraus, ob es sogar beide (lokal, global) Extremstellen gib. Woran erkennt man, ob eine Funktion streng steigt/fällt oder einfach nur steigt/fällt.
Ja, das wär's dann erst mal. Ich hoffe, dass mir jemand antwortet.
Vielen Dank
P.S. Viele Grüße an das Mathegenie (sie weiß schon wer gemeint ist)!!!!! |
Pi*Daumen
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. April, 2000 - 18:34: |
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Hallo Osterhase,
habe Deine Fragen gestern schon ausführlich beantwortet, aber kurz vor Ende ist mir dann der Rechner abgestürzt.
Jetzt noch mal von vorne das Wesentliche.
Zuerst berechnest Du alle Extremwerte, danach kannst Du dann entscheiden, welche lokal und/oder global sind. Wie das geht weißt Du? 1. Ableitung Null setzen, dann die Lösungen dieser Gleichung (x-Werte) in die 2. Ableitung einsetzen, wenn f"(x) für diese x ¹ 0 ist, dann sind es auf jeden Fall Extremwerte (ansonsten müssen noch höhere Ableitungen betrachtet werden, Bsp: f(x)=x4).
Ist die 2. Ableitung größer Null, dann liegt ein Minimum vor, ist sie kleiner Null, dann ein Maximum.
So, wenn Du nun mal alle Maxima nimmst und die Funktionswerte f(xi) betrachtest, so gibt es mindestens ein xi, für das das f(xi) maximal ist, diese(s) nennt man dann globale(s) Maximum/Maxima.
Und jedes Maximum ist ein lokales Maximum.
Analog bei den Minima.
Aufpassen mußt Du bei Sonderfällen wie f(x)=3, wo jeder Funktionswert ein Maximum ist oder auch bei Definitionsbereichen, die ein abgeschlossenes Intervall darstellen. Dort sind die Ränder evtl. Extremwerte, obwohl die Kriterien nicht ziehen, Bsp: f(x)=x auf [1,3], Maximum bei x=3.
Für alle x, für die gilt f'(x)>0, steigt f(x) streng monoton, ist f'(x)³0, so steigt f(x) monoton (was auch "geradeaus" beinhaltet).
Analog mit < ... ist das Kriterium anwendbar für monoton fallend.
Pi*Daumen |
Maja
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Oktober, 2000 - 18:39: |
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Hallo! Ich habe da mal einige Fragen zu unserem momentanen Thema in Mathe.
Was heißt eigentlich "monoton", wie finde ich die Monotonie heraus, wie erkenne ich untere/obere Schranken, wie erkenne ich den Grenzwert und was ist der Unterschied zwischen Schranken und Grenzwerten? Bitte um schnelle Antwort.Ist sehr wichtig!Danke!!! |
Maja
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Oktober, 2000 - 18:41: |
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Hallo! Ich habe da mal einige Fragen zu unserem momentanen Thema in Mathe(11.Klasse).
Was heißt eigentlich "monoton"("Monotonie"), wie finde ich die Monotonie heraus, wie erkenne ich untere/obere Schranken, wie erkenne ich den Grenzwert und was ist der Unterschied zwischen Schranken und Grenzwerten? Bitte um schnelle Antwort.Ist sehr wichtig!Danke!!! |
Pepe
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Oktober, 2000 - 22:46: |
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Hallo Maja,
Monotonie heißt ganz normal formuliert, daß die Folgeglieder entweder nur größer oder nur kleiner werden. Dabei ist zu unterscheiden , ob < , <= , < oder >= für aufeinanderfolgende Folgeglieder gilt.
Also:
a(n)<= a(n+1) monoton wachsend
a(n)< a(n+1) streng monoton wachsend
a(n)>= a(n+1) monoton fallend
a(n)< a(n+1) streng monoton fallend
Ein Grenzwert für eine monoton wachsende Funktion heißt für n->unendlich strebt die Folge einem bestimmten Wert zu. Hat die Folge eine obere Schranke, so ist diese Schranke auch der Grenzwert. Obere Schranke heißt: kein Folgeglied ist größer als die Schranke.
Betrachte aber auch mal die Folge
a(n)=(-1)^n
Diese Folge springt zwischen -1 und 1 hin und her. Sie hat -1 als untere und +1 als obere Schranke. Sie ist aber nicht monoton wachsend oder fallend, darum gibt es keinen Grenzwert ! |
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