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Beitrag |
    
Heike R.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. April, 2000 - 18:31: | 
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der außerirdische mathematische Fähigkeiten hat?
Die Parabel y=0,4x^2 mit max. y-Wert von 8,5 rotiert um die y-Achse und soll durch einen Kegel mit gleichem Fassungsvermögen ersetzt werden. Berechne die Abmessungen des Kegels, wenn seine Oberfläche minimal sein soll.
Teillösung (nach 3 Stunden Mühe): V von Parabel = pi*90,3125
Wie geht's aber nun weiter?
Heike am Verzweifeln |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. April, 2000 - 12:02: |
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Hi Heike,
Als Ausserirdischer brauche ich eine gewisse Angewöhnungszeit
für irdische Situationen , insbesondere was die Fragestellung Eurer Lehrer anbetrifft. Diese Aufgabe ist recht raffiniert ,und sie wird manche Erdbewohner überfordern und zur Verzweiflung bringen. Vielleicht ist das aber der Zweck der Uebung.
Wie dem auch sei, wir wollen miteinander das möglichste tun !
Vorerst ein Kompliment:Du hast das Volumen richtig berechnet;
nur solltest Du für den fraglichen Körper den Begriff Paraboloid (statt Parabel) verwenden und vielleicht auch das Volumen V mit gewöhnlichen Brüchen darstellen:
V = 5* 17 ^ 2 / 16 * Pi = 1445 / 16 * Pi .
Wir wollen jetzt schon - wie in unseren Kreisen üblich - eine Abkürzung einführen:
Sei 15 * 17 ^2 / 16 = c .
Nun wenden wir uns dem Rotationskegel zu : r sei der Radius des Grundkreises, h die Höhe und s die Länge einer Mantellinie des Kegels.
Nach Pythagoras gilt die Beziehung s = wurzel ( r^2 + h^2)
Die verlangte Gleichheit der Volumina von Kegel und Rotationsparaboloid
führt auf die Gleichung:
Pi * r ^ 2 * h / 3 = c * Pi / 3 , daraus : h = c / r ^ 2 (Diese Beziehung nennen wir "Nebenbedingung")
Die Formel zur Berechnung der Oberfläche A des Kegels lautet:
A= Pi * [r^2 + r*s] = Pi * [ r^ 2 + r* wurzel(r^2 + h^2)] , wir ersetzen h durch den Term aus der Nebenbedingung und erhalten A als Funktion von r allein:
A = A ( r ) = Pi * [ r^2 + r * wurzel ( r ^ 2 + c^2 / r^4)] oder auch:
A = A ( r ) = Pi * [ r ^2 + wurzel ( r ^ 6 + c ^2 ) / r ].
Nun wollen wir A(r) nach r ableiten: Dazu brauchen wir drei Ableitungsregeln:
die Quotientenregel , die Regel für die Ableitung einer Quadratwurzel und die
Kettenregel; nach meinen Kenntnissen wisst Ihr darüber Bescheid, meistens allerdings nur rudimentär !
Im folgenden verwenden wir ein Stück weit die Abkürzung
W = wurzel (r^6 + c^2) und wir erhalten der Reihe nach für die Ableitung A' :
A ' ( r ) = Pi * [ 2 r + ( r * 6 r^5 / (2W) - W) / r^2] =
= Pi * [ 2 r + ( 3 r ^ 6 - r^6 - c^2 ) / (r ^2 * W ) ] =
= Pi * [ 2 r + ( 2 r ^ 6 - c ^ 2 / (r ^ 2 * W ) ]
Um den Extremalwert zu bekommen , setzen wir A ' null; dazu setzen wir die eckige Klammer null .Wir erhalten die folgende Gleichung für r :
2 r ^3 * W = c^2 - 2 r ^6. Indem wir W ersetzen und die Gleichung quadrieren, erhalten wir schliesslich:
4 r ^ 6 * ( r^6 + c ^ 2 ) = c ^ 4 - 4 * c ^2 * r ^ 6 + 4 * r ^ 12 , vereinfacht:
r ^ 6 = c ^ 2 / 8 (!) , auch c wird ersetzt und wir erhalten schliesslich:
r ^ 6 = 9175,89 als Näherung und daraus r = 4.57553 und h = 12.94155
Das wär's !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,stellamath. |
Heike R.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. April, 2000 - 05:58: |
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Danke H.R.!
Irgendwie ist das schon eine eigenartige Aufgabe, weil der Kegel mit der Parabel außer (0/0) keinen gemeinsamen Punkt aufweist.
Die ganze komplizierte Fragestellung war somit nur zum Errechnen des Volumens des Paraboloids, nicht wahr?
Übrigens, was bedeutet megamath. und stellamath.?
Heike |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. April, 2000 - 13:52: |
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Hi Heike R.,
Du hast die Situation recht gut erfasst.. Der Kegel hat mit dem Paraboloid nichts zu tun, nicht einmal der Nullpunkt spielt eine Rolle .Das Paraboloid ist nur als Volumenspender vorhanden und da liegt nach meiner Ansicht der Haken für eine erfolgreiche Lösung Deiner Aufgabe. Der Schüler muss zuerst eine längere risikoreiche Voraufgabe lösen, bevor er die Hauptaufgabe in Angriff nehmen kann.
Wir Ausserirdischen finden ein solches Vorgehen der irdischen Aufgabensteller, namentlich bei Prüfungen, dem Schüler gegenüber als unfair. Wir stellen grundsätzlich keine in dieser Art gekoppelten Aufgaben .Wir würden Deine Aufgabe in zwei Aufgaben zerlegen und unabhängig voneinander, einzeln bewerten: Du siehst, auch wir kommen um Prüfungsanforderungen nicht herum,
wir sind aber als Ausserirdische so menschlich wie immer möglich.
Das Wort "mega" stammt aus dem Griechischen und besagt
"gross ,hoch, weit,.." ;es wird oft als Wortbildungselement mit der Bedeutung "riesig" angewendet ,z. B. Megalosaurus ! Ich habe das Wort deshalb als Bezeichnung gewählt , nicht weil ich mich als einen grossen Mathematiker wähne, sondern weil ich für dieses Fach eine ganz grosse Zuneigung habe.
Vielleicht werde ich mich mit der Zeit in der Wortwahl noch steigern und zu "gigamath." oder " teramath." mutieren.
In der Physik nämlich bedeuten die Wörter mega , giga , tera der Reihe nach
eine Million, eine Milliarde, eine Billion.
Die Wortwahl "stellamath" hast Du selbst induziert, indem Du mich als Ausserirdischen angerufen hast (stella, lat., der Stern).
Jetzt ist alles geklärt !
Mit freundlichen Grüssen |
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