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Beitrag |
    
Zladdi
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. April, 2000 - 12:06: | 
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Hallöle!
Folgendes Problem stellt sich:
Eine ganzrationale Fkt. 3.Grades hat im Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse einen Extrempunkt und im Schnittpunkt des Graphen von f mit der x-Achse einen Wendepunkt.
Bestimme eine Gleichung dieser Funktion! |
Ingo
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. April, 2000 - 23:17: |
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f(x)=ax3+bx2+cx+d
f '(x)=3ax2+2bx+c
f ''(x)=6ax+2b
Gegeben :
1) f '(0)=0 und f ''(0)¹0
2) f(x)=0 => f ''(x)=0
Aus 1 folgt c=0 und b¹0
Wendestelle ist x=-b/(3a)
f(-b/(3a)) = a*(-b/(3a))3+b*(-b/(3a))2+d = -b3/(27a2+b3/(9a2)+d = 2b3/(27a2)+d = 0 ergibt die zweite Bedingung
Es bleiben also zwei freie Variablen,die durch den Text nicht weiter eingeschränkt sind.Um eine solche Funktion zu erhalten wählt man zweckmäßig b=3 und a=1.Dann muß d=-2 gelten und die Gleichung lautet f(x)=x3+3x2-2
Eine weitere Lösung wäre durch die Wahl a=-1 und b=1,also d=-2/27 gegeben .Dann ist f(x)=-x3+x2-2/27
Allgemein betrachtet ist die Lösung eine zwei-parametrige Funktionsschar :
fa,b(x)=ax3+bx2-2b3/(27a2)
mit beliebigen a,b aus Q |
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