| Autor |
Beitrag |
    
Dirk Purrucker
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. April, 2000 - 17:30: | 
|
Es ist eine Funktion f(x)= 4-(4/x²) gegeben.
Aufgabe:
T sei ein weiterer Punkt auf dem Graphen f(x) mit positivem x-Wert.
Die Tangente und die Normale (senkecht zur Tangente) in T bilden zusammen mit der y-Achse ein Dreieck. Dieses Dreieck soll gleichschenklig werden.
Berechnen Sie die Koordinaten seiner Spitze T und den Oberflächeninhalt des Dreiecks.
Kann mir hier jemand helfen????? |
Ingo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. April, 2000 - 22:07: |
|
1.Lösungsweg
Unter Einsatz von Trigonometrie gibt es eine recht einfache Lösung. Fertige Dir dazu zunächst mal eine Zeichnung an(ich versuchs erstmal ohne zu erklären).Skizziere den Graphen und in einem Punkt dann die Tangente und zugehörige Normale. Dann hast Du das Dreieck.
Da die Normale stets senkrecht auf die Tangente steht,liegt hier ein rechter Winkel vor.Damit es ein gleichschenkliges Dreieck wird,müßen die anderen beiden Winkel also jeweils 45° betragen.Somit muß die Tangente ebenfalls in einem 45°-Winkel ansteigen.
Zu lösen ist also einfach nur die Gleichung f'(x)=tan(45°)
2.Lösungsweg
Bestimme die Gleichung für die Tangente und die Normale.
Tangente ta(x)=f(a)+(x-a)f'(a)
Normale na(x)=f(a)-(x-a)/f'(a)
Ein gleichschenkliges Dreieck liegt vor,wenn die Höhe ht des Dreiecks die Seite auf der y-Achse halbiert.Die Eckpunkte des Dreiecks sind neben T noch (0;ta(0)) und (0;na(0)).Die Bedingung lautet also (ta(0)+na(0))/2=f(a)
Hier mußt Du die Funktion einsetzen und das ganze nach a umformen,um die gesuchte(n) Stelle(n) a zu erhalten. |
Bobs
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. April, 2000 - 22:18: |
|
Hi Dirk!
Als erstes solltest Du Dir das Problem mal grafisch veranschaulichen.
Nun zur Lösung:
für die Gleichung der Tangente an die Fkt. im Punkt T(x0/y0) gilt allgemein:
y0=m1*x0+n1 (1.)
die Orthogonale dazu:
y0=-1/m1*x0+n2 (2.) da für die Steigung zweier orthogonaler Geraden gilt: m1*m2=-1
für m setzt man nun f'(x)=8/x^3 ein, da m=f'(x) gilt
n bezeichnet die Schnittpunkte mit der y-Achse
daraus ergibt sich zunächst:
1. y0=8/x0^3*x0+n1 => y0=8/x0^2+n1
2. y0=-1/(8/x0^3)*x0+n2 => y0=-x0^4/8+n2
Aus deiner Zeichnung dürfte dir hoffentlich folgender Zus.hang klar werden:
denn es gilt, damit das Dreieck gleichschenklich wird: die Schnittpunkte der beiden Geraden mit der y-Achse müssen von y0 den gleichen Abstand haben. Nehmen wir n2 also als oberen Schnittpunkt
gilt: n2-y0=y0-n1 =>2y0-n2=n1
dies setzen wir z.B in (1.) ein:
y0=8/x0^2+2y0-n2
nach Umformungen ergibt sich daraus:
y0=-8/x0^2+n2 (3.)
jetzt nur noch 3. mit 2. gleichsetzen und nach x0 auflösen => x0=2
das ist der x-Wert des Punktes T
y ergibt sich aus einsetzten T(2/3)
Der Flächeninhalt sollte ein Kinderspiel sein:
das gleichschenklige Dreieck wird anders gelegt zu einem Quadrat mit der Seitenlänge 2
Also: A=4
Ich hoffe es hilft ein wenig!
Tschau Bobs! |
Bobs
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. April, 2000 - 05:39: |
|
UUps, da hab ich wohl etwas zu kompliziert gedacht!
Aber zum Ergebnis führt es auch! |
Dirk
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. April, 2000 - 13:05: |
|
Vielen Dank erstmal! Ihr sein mir echt eine große Hilfe!!!! |
|
