| Autor |
Beitrag |
    
Felix Fach
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Februar, 1999 - 14:46: | 
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Ein Schüler sollte zwei dreistellige positive Zahlen multiplizieren und das Produkt durch eine fünfstellige Zahl dividieren.
Er übersah jedoch den Malpunkt und fasste die nebeneinanderstehenden Faktoren als eine Zahl auf.
Dadurch wurde sein ganzzahliges Ergebnis dreimal größer als das Richtige.
Welches waren die drei Zahlen?
Das Ergebnis haben wir schon (167, 334, 55778), aber wie zum Teufel kommt man darauf??!!?? |
Anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Februar, 1999 - 23:25: |
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Mit dem PC durchprobieren ? Nicht sehr galant, aber funktioniert ....
Aber vielleicht hat ja jemand noch eine mathematischere Lösung |
Felix
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. März, 1999 - 20:36: |
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Brauche den Lösungsweg unbedingt bis zu den Osterferien!!! An alle Mathegenies helft mir!!! |
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. März, 1999 - 11:38: |
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Hallo Felix Fach!
Hier die Lösung:
x=erster Faktor
y=zweiter Faktor
z=Divisor
x,y Element der natürlichen Zahlen und
(990
y>1000/3=333,333...
y>=334
y ist eine natürliche Zahl, also ist die kleinste
Zahl, die man hier für y einsetzen darf y=334.
Somit hat man ein erstes Intervall für die Werte von y:
y[334;999]
Löst man die Gleichung nach y hin auf, erhält man:
3*x*y/z=(x*1000+y)/z
y=1000*x/(3*x-1)
Der Nenner kann hier nicht null werden, da x>=100 ist.
Die rechte Seite der Gleichung liefert die gesuchten y-Werte, welche größer oder gleich 334 sind.
Also löst man diese Ungleichung:
1000*x/(3*x-1)>=334
Nach dem Umformen und Auflösen nach x erhält man:
x=100, so berechnt man den
größten y-Werte, den man noch hier einsetzen darf.
y=167000/500=334
Man darf also keine y-Werte in die Gleichung x=y/(3*y-1000) einsetzen,
die größer als 334 sind, denn sonst fallen die berechneten x-werte nicht mehr in das Intervall von x[100;167].
Folglich liegt der gesuchte y-Wert im Intervall 334<=y<=334, ist also
y=334.
Daraus ergibt sich x=y/(3*y-1000)=334/(3*334-1000)=167.
Setzt man diese Zahlen in die Grundgleichung ein, so zeigt sich wie
erwartet, daß diese die Gleichung lösen:
3*x*y/z=(x*1000+y)/z
3*167*334/z=(167*1000+334)/z
167334/z=167334/z
(x*1000+y)/z soll wiederrum eine natürliche Zahl sein.
Da sowohl x*y/z, als auch (x*1000+y)/z eine natürliche Zahl liefern
und 3*x*y=(x*1000+y) ist, läßt sich die Zahl 167334, welche der Schüler berechnet hatte, auch durch 3 teilen und man erhält:
z=167334/3=55778
Das wars.
Link |
Bodo
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. März, 1999 - 13:50: |
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obergenial !!!
Bodo |
Felix
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. März, 1999 - 21:55: |
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DANKE!!! |
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. März, 1999 - 22:20: |
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Hallo Felix Fach!
Hier die Lösung:
x=erster Faktor
y=zweiter Faktor
z=Divisor
x,y Element der natürlichen Zahlen und
(99<x<1000) und (99<y<1000)
z Element der natürlichen Zahlen (9999<z<100000)
x*y/z sollte der Schüler berechnen
(x*1000+y)/z hat der Schüler berechnet
Da das Ergebnis des Schülers drei mal so groß ist
als das richtige, kannst du daraus die Gleichung
aufstellen:
3*x*y/z=(x*1000+y)/z
Löst man diese Gleichung nach x hin auf, fällt
z heraus:
x=y/(3*y-1000)
Da der Nenner nicht 0 werden darf, x auch nicht
negativ ist, berechnet man nun die untere Grenze der Zahlen, die man für y einsetzen darf, so daß der Nenner immer größer 0 ist.
3*y-1000>0
y>1000/3=333,333...
y>=334
y ist eine natürliche Zahl, also ist die kleinste
Zahl, die man hier für y einsetzen darf y=334.
Somit hat man ein erstes Intervall für die Werte von y:
y[334;999]
Löst man die Gleichung nach y hin auf, erhält man:
3*x*y/z=(x*1000+y)/z
y=1000*x/(3*x-1)
Der Nenner kann hier nicht null werden, da x>=100 ist.
Die rechte Seite der Gleichung liefert die gesuchten y-Werte, welche größer oder gleich 334 sind.
Also löst man diese Ungleichung:
1000*x/(3*x-1)>=334
Nach dem Umformen und Auflösen nach x erhält man:
x<=167
Damit haben wir die obere Grenze des Intervalls für die X-Werte gefunden:
x[100;167]
Löst man nun die Ungleich y/(3*y-1000)>=100, so berechnt man den
größten y-Werte, den man noch hier einsetzen darf.
y<=100000/219=334,44816..
y<=334
Der größte y-Wert den man hier einsetzen darf ist 334, jeder größere
würde x-werte liefern, die kleiner als 100 sind und somit nicht mehr
im gesuchten Intervall für x.
Das ganze macht man nochmal, nur diesmal berechnet man die y-Werte dafür, daß sie nicht x-werte liefern, die größer als 167 sind:
x=y/(3*y-1000)
y/(3*y-1000)<=167
y>=167000/500=334
Man darf also keine y-Werte in die Gleichung x=y/(3*y-1000) einsetzen,
die größer als 334 sind, denn sonst fallen die berechneten x-werte nicht mehr in das Intervall von x[100;167].
Folglich liegt der gesuchte y-Wert im Intervall 334<=y<=334, ist also
y=334.
Daraus ergibt sich x=y/(3*y-1000)=334/(3*334-1000)=167.
Setzt man diese Zahlen in die Grundgleichung ein, so zeigt sich wie
erwartet, daß diese die Gleichung lösen:
3*x*y/z=(x*1000+y)/z
3*167*334/z=(167*1000+334)/z
167334/z=167334/z
(x*1000+y)/z soll wiederrum eine natürliche Zahl sein.
Da sowohl x*y/z, als auch (x*1000+y)/z eine natürliche Zahl liefern
und 3*x*y=(x*1000+y) ist, läßt sich die Zahl 167334, welche der Schüler berechnet hatte, auch durch 3 teilen und man erhält:
z=167334/3=55778
Das wars.
Link |
Felix
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. März, 1999 - 19:44: |
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Ich habe heute erfahren, dass es noch eine zweite Lösung gibt (167, 334, 27889) geht das dann genau so???
y<=100000/219=334,44816..
y<=334
und wieso muss man da durch 219 teilen (wie kommt man auf 219?) |
Anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. März, 1999 - 18:37: |
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So geht's Felix,
y/(3*y-1000)>=100
y>=100*(3*y-1000)
y>=300*y-100000
100000>=300*y-y=299*y
100000/299>=y
Da sowohl x*y/z, als auch (x*1000+y)/z eine natürliche Zahl liefern
und 3*x*y=(x*1000+y) ist, läßt sich die Zahl 167334, welche der Schüler berechnet hatte, auch
durch 3 teilen und man erhält:
z=167334/3=55778=2*27889
Da 55778 ein drittel der Zahl 167334 ist
167334/55778=167334/(2*27889)=1/3
ist die Hälfte von 55778, also 27889, ein sechstel der Zahl 167334.
Da x*y*3=167334 ist, ist x*y=55778, also ein drittel von 167334. Folglich läßt sich x*y auch durch dessen Hälfte teilen.
Link. |
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