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GLEICHUNGSSYSTEME

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klasse 11 » Gleichungen/Ungleichungen » Gleichungssysteme » GLEICHUNGSSYSTEME « Zurück Vor »

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MANOU
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Veröffentlicht am Dienstag, den 11. April, 2000 - 00:21:   Beitrag drucken

HILFE !!!!!
WER KANN MIR BEI DIESEM GLEICHUNGSSYSTEM HELFEN?
(a + 1)X - Y = 1
X + (a - 1)Y = 0
lÖSUNG UNTER BERÜCKSICHTIGUNG ALLER sONDERFÄLLE
DETERMINANTENVERFAHREN!
ES IST WIRKLICH DRINGEND!!!
VIELEN DANK!
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reinhard
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Veröffentlicht am Dienstag, den 11. April, 2000 - 07:03:   Beitrag drucken

Hallo Manou!

Zuerst kann man 2 offensichtliche Sonderflälle unterscheiden:
a=-1:
-y=1; y=-1
x-2y=0
x+2=0
x=-2

und a=1;
2x-y=1
x=0
-y=1
y=-1

Nun zur eigentlichen Lösung des Gleichungssystems
I: (a+1)x - y = 1
II: x + (a-1)y = 0

I: (a+1)x - y = 1
-I/(a+1)+II: y/(a+1) + (a-1)y = -1/(a+1)
y + (a-1)(a+1)y = -1
y + (a²-1)y = -1
y(1 + a² - 1) = -1
ya² = -1
y = -1/a²
dieses Ergebnis nun eine Zeile höher einsetzen und nächste Variable berechnen:
(a+1)x + 1/a² = 1
(a+1)x = 1-1/a² = a²/a²-1/a² = (a²-1)/a² = (a+1)(a-1)/a²
x = (a-1)/a²

Aus den Lösungen von x und y folgt eine Divsion durch 0, falls a=0. Also betrachten wir diesen Fall nochmal:
a=0:
x-y=1
x-y=0
Nicht Lösbar!

Reinhard
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Dienstag, den 11. April, 2000 - 18:15:   Beitrag drucken

Hi Manou,

Vorerst eine Bemerkung zur bisher eingetroffenen Lösung:
Die Fälle a = - 1 und a = 1 sind keineswegs Sonderfälle, denn sie lassen sich problemlos unter dem Hauptfall subsumieren :
"a ist von Null verschieden".

Dies zeigt sich besonders gut, wenn wir die Aufgabe,wie es ja verlangt wird, mit Determinanten lösen
Wir schreiben das lineare Gleichungssystem allgemein wie folgt an:
a1 * x + b1 * y = c1
a2 * x + b2 * y = c2
für Dein System gilt
a1 = a + 1 , b1 = -1 , c1 = 1
a2 = 1 , b2 = a - 1 , c2 = 0.
Wir bilden nun drei Determinanten, nämlich:
D1 = D = a1 * b2 - a2 * b1 = (a + 1) * ( a - 1 ) + 1 = a ^ 2
D2 = DX = c1 * b2 - c2 * b1 = a - 1
D3 = DY = a1 * c2 - a2 * c1 = - 1

Die Theorie besagt.: es gibt zwei Hauptfälle,nämlich die Fälle (I) und (II):

1. Fall(I) . D ist von null verschieden: Das System ist eindeutig lösbar ,die Lösungen sind dann
x = DX / D , y = DY / D , somit im vorliegenden Fall für alle von null
verschiedene a-Werte gilt: x = (a-1) / a ^ 2 , y = -1 / a ^ 2

2. Fall (II) : D = 0 , d.h . für uns: a = 0 ; hier gibt es zwei Unterfälle:
a) mindestens eine der beiden Determinanten DX , DY ist von Null verschieden. Dann ist das System nicht lösbar ; genau dies trifft für uns zu, denn beide Determinanten DX = a - 1 und DY= -1 sind von null verschieden
b) alle Determinanten sind null: Das System hat unendlich viele Lösungen!

Damit ist diese Systematik an Deinem Beispiel erfolgreich durchexerziert !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.
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Princess (Princess)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. September, 2000 - 21:04:   Beitrag drucken

wie soll ich graphisch diese LGS lösen `?
a) 2a-6b =6 -a + 3b = 3
b) x - 300y = - 300 x/3 + 50y 0 = 200
c) -7v + 3w = -14 v-3/7w 0 =2
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Fern
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. September, 2000 - 11:56:   Beitrag drucken

Siehe:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/4244/5486.html?969480681

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