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Bobs
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. April, 2000 - 19:06: | 
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Tach auch! Folgende Aufgabe steht zur Diskussion:
gegeben ist f(x)=a*(2-ln(ax))*ln(ax)
Zeigen Sie,daß es für jede reelle Zahl a (außer a=0) genau zwei Punkte des Graphen der Funktion f gibt, in denen die Tangente durch den Koordinatenursprung verläuft.
Besten Dank schon im voraus! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. April, 2000 - 22:57: |
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Hi Bobs,
Wir bestimmen als erstes die erste Ableitung der gegebenen Funktion und zwar mit der Produktregel. Wir beachten dabei , dass die Ableitung von g(x) = ln (ax ) lautet :g' (x) = a * 1 / (ax) = 1 / x , wenn wir die Kettenregel benützen
(Man kann auch die Zerlegung ln (ax) = ln a + lnx benützen und dann ableiten;
man erhält - hoffentlich - dasselbe Resultat.)
Nun zurück zur ersten Ableitung von f(x) !
Wir erhalten : f ' (x) = a [ -1/x * ln (ax) + (2 - ln(ax)) * 1/x ] , dies lässt sich vereinfachen zu:
f '(x) = 2 a / x * [1 - ln (ax)]
Jetzt stellen wir mit der sogenannten Punktrichtungsform die Gleichung der Tangente t mit Berührungspunkt P( x1 / y1 ) auf der Kurve auf:
Die Gleichung lautet (bekanntlich ? ) allgemein so:
y - f (x1) = f ' (x1) * ( x - x1 ) (x , y sind die Koordinaten des laufenden Punktes auf t. Soll diese Gerade durch den Nullpunkt gehen, so erfüllen dessen Koordinaten x = 0 und y = 0 diese Geradengleichung , also gilt
f (x1) - x1 * f ' (x1) = 0 (G ) Wir ersetzen in f (x) und f ' (x) x durch x1 , setzen alles in die Gleichung (G) ein und substituieren noch ln (a * x1) = u ; es kommt :
a * (2-u) * u - 2a /x1* [1-u] = 0 wir multiplizieren beide Seiten mit x1 und heben x1 weg ( x1 ist von null verschieden ) ; es bleibt:
eine quadratische Gleichung für u übrig ;diese lautet (auch a hat sich weggehoben !) : u^2 - 4u + 2 = 0 mit den Lösungen
u1 = 2 + wurzel(2) und u2 = 2 - wurzel (2)
Erinnert man sich an die Bedeutung von u , so erhält man schliesslich die
x-Werte der gesuchten beiden Punkte:
x11 = 1/a * e^(2+wurzel (2)) und x12 = 1/a* e^(2-wurzel(2))
Die zugehörigen y-Werte sind aus der gegebenen Funktionsgleichung leicht zu bekommen, nämlich:
y11= - a * ( 2+2 wurzel(2) ) und y12 = a* ( 2 wurzel(2) - 2 )
Damit ist die Aufgabe gelöst , Irrtümer und Rechnungsfehler vorbehalten.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.,megamath. |
Ingo
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. April, 2000 - 23:08: |
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erstmal ableiten :
f '(x)=a*((2-ln(ax)*1/x-ln(ax)/x)=(2a/x)(1-ln(ax))
Tangentengleichung : t(x)=f(x0)+(x-x0)f '(x0)
Nullpunkt liegt auf Tangente,wenn t(0)=0,also lautet die Bestimmungsgleichung 0=f(x0)-x0f '(x0)
eingesetzt :
0 = a*(2-ln(ax0))ln(ax0)-x0*(2a/x0)*(1-ln(ax0)) = a(2-ln(ax0))ln(ax0)-2a(1-ln(ax0))
=> a=0 oder 2ln(ax0)-ln2(ax0)-2+2ln(ax0)=0
=> a=0 oder ln2(ax0)-4ln(ax0)-2=0
=> a=0 oder ln(ax0)=2+-Wurzel(6)
=> a=0 oder x0=e2±Wurzel(6)/a |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. April, 2000 - 14:26: |
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Hi Bobs,
wenn Ingo in der drittletzten Zeile vor der null + 2 statt -2 setzen würde, um damit einen Vorzeichenfehler zu korrigieren,
könnten Ingo und ich dasseibe Resultat vorweisen, und das würde sicher beruhigend wirken !
Dank und Gruss von
H.R. , megamath. |
Bobs
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. April, 2000 - 08:01: |
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Hallo ihr zwei!
Also nochmals besten Dank. Hab's leider nicht früher gepackt mich zu bedanken, vonwegen Abistress und so. Ingo's Vz-fehler hatte ich auch bemerkt.
Bis zum nächsten Mal
Mfg, Bobs! |
jojo01
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. März, 2002 - 18:01: |
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Hallo!
wir schreiben in ca.3 wochen unser abi in Mathe P3 und kommen mit ln funktionen nicht klar. wie lautet bitte die erste ableitung von
f(x)=(ln(x+6))^2
Bitte hilf uns.
Tim & julia |
A.K.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. März, 2002 - 18:34: |
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Hallo Tim & Julia
f(x)=(ln(x+6))²
f'(x)=2*(ln(x+6))*(1/(x+6))*1
=(2*ln(x+6))/(x+6)
Also zunächst das ² ableiten, ergibt 2*ln(x+6);
dann ln ableiten, ergibt 1/(x+6) und
schließlich noch die Ableitung von x+6; also 1
Mfg K.
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