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Anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. April, 2000 - 17:59: | 
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Ein kreisförmiges Blechstück mit dem Radius r soll nach Herausschneiden eines Sektors zu einem kegelförmigen Trichter zusammengebogen werden
Bei welchem Mittenwikel alpha des sektors hat der Trichter maximales Fassungsvermögen??
Spezialisten sind gefragt!!!! |
Anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. April, 2000 - 18:01: |
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Das ist wirklich sehr schwer!! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. April, 2000 - 22:41: |
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Hi Anonymus,
Diese sogenannte Trichter- oder Filteraufgabe ist das Paradebeispiel für viele Lehrbuchautoren, die nach einer anschaulichen , aber auch nach einer anspruchsvollen Aufgabe Ausschau halten. Man könnte die Lösung in einem dieser Bücher nachschlagen.
Gleichwohl nehme ich mir die Mühe, eine mögliche Lösungsmethode hier vorzuführen.
Zuerst ein paar Vorbemerkungen: Eine Kegelaufgabe , in welcher die Mantelfläche eine Rolle spielt , wurde kürzlich hier gelöst ( Archiv Nr. 2715 , siehe dort !)
Die Bezeichnungen bei der folgenden Lösung sind die folgenden:
Filterpapier: Kreissektor mit Radius s und Zentriwinkel A im Bogenmass natürlich .
Rotationskegel: Radius des Grundkreises r , Höhe h , Länge einer Mantellinie s ( wie oben !) , halber Oeffnungswinkel w als Winkel zwischen der Kegelachse und einer Mantellinie.
Wir wollen nun mit den Berechnungen anfangen ,wenn sie heute noch fertig werden soll , eine etwas starke Forderung deinerseits !
2 Pi * r = s * A ( Umfang des Grundkreises = Bogenlänge des Sektors)
Somit gilt r = s* A / (2 * Pi ). Weiter beim Kegel : sin w = r / s = A / ( 2*Pi).
h = wurzel ( s ^ 2 - r ^ 2 ) = s * wurzel ( 1 - A^2 / (4 * (Pi)^2)) , daher wird das Volumen des Kegels (die Zielfunktion):
V = 1/3 * s ^ 3 / (4*Pi) * A^2 * wurzel( 1 - A^2 / ( 4 * (Pi)^2)) Wir müssen das Maximum von V bestimmen; dazu lassen wir alle konstanten Faktoren weg und quadrieren das übrige, ,indem wir einfach das Maximum von V ^2 statt dasjenige von V ermitteln, mit anderen Worten:
Wir bestimmen das Maximum der Funktion f (A) = A ^ 4 - A ^ 6 / (4* (Pi)^2), indem wir f (A) nach A ableiten und diese Ableitung null setzen; Ergebnis:
f ' (A) = 4 A^ 3 - 6 * A^5/ (4 * (Pi)^2) = 0 , daraus A = 2 * Pi * wurzel (2/3).
Die zweite Ableitung f '' ( A) = 12 *A^2 -15* A^ 4 / (2*(Pi)^2) wird für diesen Wert von A negativ (nachrechnen!) , also liegt ein Maximum vor.
Beurteilung des Ergebnisses: Da wurzel (2/3) ungefähr 0.8 ist, macht der zum Trichter umgebogene Kreissektor etwa 80% der ganzen Kreisfläche aus, m.a.W. der Zentriwinkel muss für das Optimum etwa o,8 * 360° = 288° betragen.
Für den halben Oeffnungswinkel w findet man sin w = wurzel (2/3) , also
w ungefähr 55 ° .
Das maximale Kegelvolumen wird V max = 2/9 * Pi * s^3 /wurzel(3)., dh. angenähert 2 * s ^ 3 / 5.
Ende gut noch vor Mitternacht !
Grüsse
H.R. |
franz
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. April, 2000 - 09:42: |
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Mit der Bierdose geht's sicher einfacher: Wie hoch ist eine zylinderförmige 1/2 Liter-Dose
minimaler Oberfläche (Blechverbrauch). Und in Wirklichkeit? |
Michael
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. April, 2000 - 15:11: |
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Vielen Dank!!!!!
H.R.Moser |
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