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Extremalaufgaben

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Michel
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Veröffentlicht am Sonntag, den 02. April, 2000 - 15:16:   Beitrag drucken

Hallo!

Ich habe mit dieser Aufgabe!
Ein gerader Kreiskegel besitzt das Volumen V=36*Pi, h bezeichne seine Höhe.
a) Zeige, dass für den Inhalt des MAntels in Abhängigkeit der Höhe gilt:
M(h)=((6*sqrt(3)*Pi)/h)*sqrt(108+h^3)

b) Wie muss h gewählt werden, damit dieser Inhalt möglichst klein wird? Wie gross ist dieser minimale Inhalt?

danke für die Hilfe
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H.R.Moser,megamath
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Veröffentlicht am Montag, den 03. April, 2000 - 14:30:   Beitrag drucken

Hi Michel,

Zuerst legen wir die Bezeichnungen fest:
h ist -wie in der Aufgabe postuliert- die Höhe und M die Mantelfläche des Kegels
Weiter soll gelten::
r ist der Radius des Grundkreises und s ist die Länge einer Mantellinie ;
es gilt : s ^ 2 = r ^ 2 + h ^ 2 nach Pythagoras von Samos , wie Du in einem Achsenschnitt des Kegels leicht feststellen kannst
Der Mantel des Kegels lässt sich in die Ebene ausbreiten ; diese Abwicklung des Kegelmantels stellt einen Kreissektor dar, dessen Daten leicht erkennbar sind:
Die Bogenlänge B des Sektors stimmt mit dem Umfang des Grundkreises überein, und der Radius R des Kreissektors ist s .
Es ist als B = 2 * r * Pi , R = s.
Die Fläche eines Kreissektors kann analog einer Dreiecksfläche berechnet werden : " Bogenlänge B mal Radius R des Sektors durch zwei " , also
M = B * R / 2 = Pi * r * s (Achtung: r ist der Radius der Grundfläche des Kegels).
Jetzt verwenden wir die mit der Aufgabe gegebene Volumenbedingung
V = 36 * Pi ; aus der allgemeinen Formel für V ,welche
V = 1/3*Pi * r^2 * h lautet, folgt r^2 = 108 / h , dies setzen wir in die oben hergeleitete Mantelformel ein und erhalten:
M = Pi * r * s = Pi * r * wurzel(h^2+r^2) =
Pi * wurzel( 108 / h ) * wurzel(h ^ 2 + 108 / h) = Pi * wurzel (108) / h * wurzel(h^3+108)
Dies stimmt mit dem zu beweisenden Ausdruck überein.

Für die Ermittlung des Minimums von M ist es zulässig , das Minimum des Quadrates von M zu bestimmen (Vorteil: wir brauchen keine Wurzel abzuleiten!) Ausserdem lassen wir konstante Faktoren weg, das geht ebenfalls
Summa summarum kommt:
Wir bestimmen einfach das Minimum der Funktion f(m)= 1/h^2 *(h^3 +108) = h + 108 / h^2
Die erste Ableitung ist : f '(m) = 1 - 216 / h^3 mit der einzigen reellen Nullstelle
h = 6. Das gibt für die minimale Mantelfläche des Kegels nach leichter Rechnung:
M min = 18 * Pi * wurzel (3).
Hoffentlich ist dies alle einigermassen erfassbar !
Grüsse
H.R.
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Michel
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Veröffentlicht am Montag, den 03. April, 2000 - 15:39:   Beitrag drucken

Danke megamath!

Es ist erfassbar!

Grüsse

Michel

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