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Beitrag |
    
Carsten Dencker
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. April, 2000 - 10:31: | 
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Hallo,
wer kann mir nochmal helfen?
Gegeben f(x)=-1/3x³+3x
Frage: Bestimmen Sie die Gleichung der Kurvennormalen im Ursprung!
Wie berechnet man diese? |
Carsten Dencker
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. April, 2000 - 12:13: |
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Noch eine Frage hierzu:
Es gibt Kurvenpunkte B(u|f(u)) mit u ¹ 0, in denen die Kurvennormale eine Ursprungsgerade ist. Bestimmen Sie die Anzahl dieser Punkte. |
franz
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. April, 2000 - 17:08: |
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Die Gerade, welche eine Funktion f(x) an der Stelle a senkrecht schneidet, wird durch N(x)=-(1/f'(a))*(x-a) + f(a) beschrieben (Herleitung auf Wunsch).
Für f(x)=-(1/3)*x³+3x(?) also N(x)=-x/(-a²+3)+a[1/(-a²+3) - a²/3 +3]. Bitte nachrechnen! Für Ursprungsgeraden N(x)=! b*x ergeben sich neben a=0 beziehungsweise N(x)=-x/3 (Teilaufgabe 1) noch weitere Lösungen aus []=0. a²=z substituieren, 4 Lösungen a= +-3, +-WURZEL(3), die noch überprüft werden müssen (Teilaufgabe 2). |
Carsten Dencker
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. April, 2000 - 17:25: |
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Hallo Franz,
vielen Dank für Deine Hilfe.
Die Herleitung der Kurvennormalen würde mich dennoch interessieren.
Vielen Dank im voraus.
Gruß
Carsten |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. April, 2000 - 20:40: |
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Hi Carsten ,
Als Ergänzungen zu den Ausführungen von Franz, der Deine Aufgabe umfassend gelöst hat, möchte ich gleichwohl eine notwendige Korrektur anbringen
Wir Mathematiker haben Schutzengel ,die uns vor Rechenfehlern beschützen; nur nehmen sie ihre Arbeit nicht immer genau genug.
So ist es in der Arbeit von Franz passiert, dass die Auflösung der biquadratischen Gleichung bei meinen Berechnungen ein anderes Resultat liefert.
In der Hoffnung , dass mein eigener Schutzengel seine Pflichten Ernst nimmt , gebe ich die fragliche Gleichung und deren Lösungen an.
Für den gesuchten Punkt erhält man für den x -Wert u die Gleichung
u ^ 4 - 12 u ^ 2 + 30 = 0 mit den Lösungen
u 1,2,3,4 = + - wurzel ( 6 + - wurzel (6) ),
Zahlenwerte u 1 , 2 = + - 2.907 , u 3 ,4 = + - 1.884 .
Es gibt somit vier Lösungspunkte der verlangten Art , aber nur zwei zugehörige
Kurvennormalen, da je zwei aus Symmetriegründen zusammenfallen (der Graph der kubischen Funktion ist ja punktsymmetrisch zum Ursprung.
P:S. Zur Lösung der Aufgabe musst du aus der Theorie zwei Dinge wissen
1. Zwei Geraden stehen dann aufeinander senkrecht, wenn das Produkt ihrer Steigungen - 1 ist .
2. Die Gleichung einer Geraden , welche durch den gegebenen Punkt P(u / v) geht und die Steigung m hat , lautet: y - v = m ( x - u )
Gruss: H.R. |
franz
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. April, 2000 - 22:00: |
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n'Abend Carsten, stimmt die Funktionsgleichung? Hast Du zumindest die angegebenen Lösungen überprüft; vielleicht grafisch mit einem entsprechenden Mathe-Programm?
Knackpunkt bei der Berechnung der Normalen ist die Ermittlung ihres Anstiegs.
Skizze: Koordinatenachsen, Stück Funktionsgraph f(x), darauf ein Punkt P(a/f(a)), a auf x-Achse. Tangente an f durch P; schneidet x-Achse in A unter dem Steigungswinkel Alpha. Genauer: Alpha ist der orientierte Winkel zwischen der positiven Abszissenachse und der Tangente. (Winkelbogen meinetwegen mit Pfeil zeichnen; ist entscheidend.)
Senkrecht zur Tangente durch P die Normale/Gerade N. Verlängern bis zum Schnitt mit der x-Achse: B. Dreieck mit rechtem Winkel bei P: ABP. Hilfslinie H senkrecht auf der x-Achse in B.
Der Steigungswinkel Beta der Normalen (orientiert von der positiven x-Achse zur Normalen) ist NICHT der übliche zweite Winkel in diesem Dreieck, sondern der Winkel von der x-Achse her im Gegen-Uhrzeiger-Sinn zur Normalen. Beta=90°+Alpha. Alpha zwischen H und N. Klar?
Steigung der Funktion f im Punkt P: f'(a) gleich Steigung der Tangente gleich tan(Alpha). Steigung der Normalen in P: N'(a)=tan(Beta)=tan(90°+Alpha) =sin(90°+Alpha)/cos(90°+Alpha) =(-cos(Alpha))/sin(Alpha)=-1/tan(Alpha)=-1/f'(a) .. die gesuchte N-Steigung. Klaro?
Der Rest Routine. N ist eine Gerade N(x)=mx+n; Gesucht m und n. N'(x)=m=-1/f'(a). Fehlt n. N und f treffen sich in P: N(a)=f(a); ma+n=f(a); -1/f'(a) * a +n = f(a); n=-1/f'(a) * a + f(a); zusammen N(x)=mx+n=(-1/f'(a))*x + (-1/f'(a))*a + f(a); N(x)=(-1/f'(a))*(x-a) + f(a)
Die letzte Formel notieren, den Rest vergessen. Tschüß, Franz. |
franz
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. April, 2000 - 08:48: |
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Bei tan(Beta) sind im Nenner und Zähler jeweils die Vorzeichen zu vertauschen (Additionstheoreme); Ergebnis bleibt. Sorry. |
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