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Gary
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. April, 2000 - 18:08: | 
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Bitte um Hilfe!
Aufgabe:
Gegeben ist f: y = 1/(1-x^2)
Die Gerade g mit y = mx+1 schneidet f außer in S (0/1) noch in P und Q. Wie groß ist m > 0 zu wählen, dass die Strecke PQ den kleinsten Wert annimmt?
Für mich ist nur klar, dass die Gerade vom 3. in den 1. Quadranten gehen muss, da m>0.
Danke für die einzelnen Schritte.
Gary |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. April, 2000 - 00:18: |
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Hi Gary,
Deine Aufgabe stellt einige Anforderung an unsere Rechenkünste !
Wir wollen es versuchen und dabei möglichst cool bleiben; die Angelegenheit ist aber schon etwas stressig und man kann sich leicht verrechnen wenn man sich ablenken lässt.
Aber Spass beiseite !
Wir bestimmen zuerst die beiden vom Nullpunkt verschiedenen Schnittpunkte
P1 (x1/y1)und P2 (x2/y2) der Geraden mit der Kurve , indem wir die y-Werte der beiden Gleichungen gleichsetzen. Das führt au die vereinfachte Gleichung
x ( m x^2 + x - m ) = 0 ( GL O )
Da wir x von null verschieden voraussetzen , kann x weggekürzt werden , und wir erhalten die quadratische Gleichung
m x^2 + x - m = 0
Für die Darstellung der beiden Lösungen wollen wir jetzt und im folgenden die Abkürzung
w = wurzel(1 + 4 m ^2) ( GL 1 )
verwenden
Die Lösungen sind:
x1 = (-1 + w) / (2 m ) (GL 2 ) und
x2 = (-1 -w) / (2 m ) (GL 3 )
Aus der Funktionsgleichung für die Kurve oder einfacher aus der Geradengleichung berechnen wir die y-Werte; wir erhalten:
y1 = m * x1 + 1 = ( 1 + w ) / 2 ( GL 4)
y2 = m * x2 + 1 = ( 1 - w ) / 2 (GL 5 )
Nun bilden wir die beiden Differenzen u =x1 - x2 und v =y1 -y2 ;
Die Quadratsumme dieser Differenzen ergibt gerade das Quadrat des Abstandes d der beiden Punkte P1 und P2 und wir sind schon nah am Ziel.
Aus (GL 2) und (GL3) entsteht : u = x1 - x2 = w / m und aus (GL 4 ) und (GL 5): v = y1 - y2 = w , ein einfaches Zwischenresultat!
Jetzt können wir das Quadrat d^2 des Abstandes d als Funktion f(m) von m darstellen und das Maximum von d^2 ermitteln; es findet an derselben Stelle statt wie dasjenige für d (logo !) : Es kommt ( mache die Substitution für w
nach Gleichung 1 rückgängig ) rückgängig :
f(m) = d^2 = u ^2 + v ^2 = w^2/m^2 + w^2 = (1+4m^2)/m^2 + 1 + 4m^2=
1 / m ^ 2 + 4 m ^ 2 + 5.
Jetzt leiten wir nach m ab und setzen die Ableitung f ' (m) null:
f ' ( m ) = - 2 / m ^ 3 + 8 m = 0 ; aus dieser Gleichung ergibt sich die Lösung m = 1 / wurzel (2) für die Extremalstelle ; dass es sich um ein Minimum handelt, zeigt die zweite Ableitung f ''(m) = 6/m^4 + 8,welche positiv ist.
Wir berechnen d ^2 * = d^2 minimum:
d^2 * = 2 +2 + 5 = 9 , daraus d* = 3 als Minimalabstand.
Die Koordinaten der Punkte , welche dieses Minimum liefern sind , wie man leicht rechnet , folgende:
x1 = (wurzel 6 -wurzel 2) / 2
y1 = ( 1 + wurzel 3) / 2
x2 = - (wurzel 6 +wurzel 2) / 2
y2 = (1 - wurzel 3) / 2
Hoffentlich kannst Du alle Schritte verstehen und die Rechnungen nachvollziehen !
In diesem Sinne grüsst
H.R. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. April, 2000 - 10:38: |
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Hi Gary,
Ich möchte noch eine Ergänzung zu meiner Lösung Deiner Aufgabe anbringen:
1. Allfällige Rückfragen würde ich gerne beantworten,
um notwendige Zwischenschritte auszuführen und beschauliche
Zwischenhalte beim Lösungsweg einzuschalten
2. Bei der Lösung solcher Aufgaben ist es oft reizvoll, sich
zusätzliche Fragen zu stellen, wie etwa diese:
Welches ist die Ortskurve des Mittelpunktes M der Strecke P1 P2,
wenn man die Gerade y = mx + 1 um den Punkt Z(0/1) dreht ?
Das Resultat ist zunächst verblüffend, schliesslich aber doch plausibel .
Ergebnis auf Anfrage !
Gruss: H.R. |
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