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Virginia (Virginia85)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Februar, 2002 - 23:14: | 
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Ich hab hier ein Problem und hab leider nicht soviel Plan, ich hoffe ihr könnt mir helfen:
Für jedes t (t [Element] R, t >0) ist eine Funktion f, durch y=f(von t)(x)=t.* sin(tx) + t (x [Element] R,x>0)
gegeben.
a) Berechnen Sie die Nullstellen und die Koordinaten der lokalen Extrempunkte der
Funktion f(von t).
Weisen Sie die Art der Extrema nach.
b) Für jede Funktion f(von t) betrachten wir den Wendepunkt mit der kleinsten Abszisse.
Bestimmen Sie den Wert t, für den der Abstand dieses Wendepunktes vom
Koordinatenursprung minimal ist.
c) Ermitteln Sie alle Werte t, für die die jeweils zugehörige Funktion f(von t) im Intervall
0 <gleich x <gleich 2pi mindestens 8 Nullstellen besitzt.
Vielen Dank, Virgi |
K.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Februar, 2002 - 09:02: |
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Hallo Virgi
ft(x)=t*sin(tx)+t
a) Nullstellen ft(x)=0
<=> t*sin(tx)+t=0 |:t
<=> sin(tx)+1=1
<=> sin(tx)=-1
=> tx=(3/2)pi+2k*pi (k€N)
=> x=(1/t)*[(3/2)pi+2k*pi] sind die Nullstellen
Ableitungen bilden:
f'(x)=t*cos(tx)*t=t²*cos(tx)
f"(x)=t²*(-sin(tx))*t=-t³sin(tx)
Extrema: f'(x)=0
<=> t²cos(tx)=0
<=> cos(tx)=0
=> tx=(pi/2)+k*pi (k€N)
=> x=(1/t)*[(pi/2)+k*pi]
Mit 2. Ableitung prüfen
f"((1/t)*((pi/2)+k*pi))=-t³sin((pi/2)+k*pi)
Nun gilt
sin((pi/2)+k*pi)<0 für gerade k und
sin((pi/2)+k*pi)>0 für ungerade k
Mit t>0 folgt -t³<0
=> -t³(sin(pi/2)+k*pi)>0 für gerade k und
-t³(sin(pi/2)+k*pi)<0 für ungerade k.
Damit hat die Funktion für
x=(1/t)(pi/2+2k*pi) Minima und für
x=(1/t)(pi/2+(2k+1)*pi) Maxima
b) Wendepunkte: ft"(x)=0
<=> -t³sin(tx)=0
<=> sin(tx)=0
=> tx=k*pi (k€N)
=> x=(1/t)*k*pi sind die x-Koordinaten der Wendepunkte
Abszisse=x-Wert
Der kleinste x-Wert existiert für k=1 und damit für x=(1/t)*pi
ft((1/t)*pi)=t*sin(pi)+t=t*0+t=t
W(pi/t|t)
d=OW=Ö((t-0)²+(pi/t-0)²)
=Ö(t²+pi²/t²)
=Ö(t4+pi²)/t²
=1/t*Ö(t4+pi²)
=> d'(t)=-1/t²*Ö(t4+pi²)+(1/t)*(4t³)/(2*Ö(t4+pi²)
=(t4-pi²)/(t²Ö(t4+pi²))=0
<=> t4-pi²=0
<=> t4=pi²
<=> t=Öpi
c) nach a) liegen die Nullstellen bei x=(1/t)*[(3/2)pi+2k*pi]
Für t>=8 mindestens 8 Nullstellen
Mfg K. |
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