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Extremwertaufgabe

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Martin
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. März, 2000 - 12:20:   Beitrag drucken

Wie löse ich bloß so eine Aufgabe?!?

Dem Graphen der Funktion f(x)=-(x-2)²+4 soll in dem über der x-Achse liegenden Teil ein rechtw. Dreieck mit max. Flächeninhalt einbeschr. werden,dessen Katheten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen.
a) Welche Maße haben die Dreiecksseiten?
b)Welche Fläche hat das Dreieck?
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Martin
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. März, 2000 - 18:48:   Beitrag drucken

Bitte,bitte ich brauch es dringend:( !
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. März, 2000 - 19:29:   Beitrag drucken

Hi Martin.,
Dein S.O.S. - Ruf wurde gehört
In ca. einer Stunde werde ich Dir eine Lösung senden .
Gruss H.R.
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. März, 2000 - 20:52:   Beitrag drucken

Hi martin,

Hier die versprochene Lösung.
Löse die Klammern von f(x) auf und schreibe die Funktion so:
f(x) = - x^2 + 4 x = x * ( 4 - x)
Du erkennst die Nullstellen bei 0 und 4 ; ferner : die Parabel ist wegen des Minuszeichens bei x^2 nach unten gekrümmt.
Stelle für das folgende eine Skizze her !
Der massgebliche Parabelbogen liegt im ersten Quadranten, schneidet die x -Achse im Nullpunkt O(0/0) und im Punkt R (4/0).
Der Mittelpunkt der Parabelsehne OR ist M( 2 / 0) Durch M geht die Achse der Parabel ,parallel zur y-Achse ; sie spielt die Rolle einer Symmetrieachse.
Auf dieser Achse liegt auch der Scheitel S der Parabel; die Koordinaten von S sind : x S = 2 , y S = 4 (Zeichnung!)
Auf der x-Achse zwischen O und M wählen wir nun als Ecke des rechten Winkels unseres rechtwinkligen Dreiecks einen beweglichen Punkt P ( t / 0 ) ; der Parameter variiere zwischen t = 0 und t = 2.
Die übrigen Ecken des rechtwinkligen Dreiecks lassen sich leicht bestimmen
Q sei die auf der x-Achse liegende Ecke (der zugehörig Winkel ist spitz) .
Man erhält Q durch Spiegelung von P an der Parabelachse, dh. auch durch Spiegelung am Punkt M. Q hat folglich die Koordinaten x Q = 4 - t ,y Q = 0.
Die dritte Ecke U hat nun dieselbe x -Koordinate wie P , nämlich t ; die zugehörige y-Koordinate ergibt sich aus der Gleichung der Parabel (setze t für x ein : y U = t*(4-t). Jetzt ist es an der Zeit , den Flächeninhalt A = A ( t ) des Dreiecks PQU zu berechnen Wir erhalten A = ½ * PQ * PU
Es gilt PQ = 4 - t - t = 4 - 2 * t , PU = y U = t* ( 4 - t) ,somit
A(t) = ½ * ( 4 - 2 *t ) * t * ( 4 -t )= t^3 - 6 t^2 +8 t ; wir leiten nach t ab :
A ' (t) = 3 t ^2 - 12 t + 8
Wir setzen diese Ableitung null und lösen die quadratische Gleichung nach t auf und zwar ist diejenige Lösung zu wählen, die zwischen null und zwei liegt, wie oben abgemacht wurde;
Wir erhalten t = t* = 2 - 2/3 wurzel(3).
Damit ist alles gesuchte leicht festzustellen;
Die Katheten : horizontal: 4/3*wurzel(3) ,vertikal (t* in die Parabelgleichung einsetzen und Term gehörig vereinfachen): 8/3.
Die maximale Dreiecksfläche ist : 16/9 * wurzel(3) , Irrtümer vorbehalten !
MitGruss
H.R
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. März, 2000 - 21:32:   Beitrag drucken

Hi Martin.,

Ein Nachtrag:
Achtung auf Randextrema:
Je nach Interpretation der Aufgabe kann auch das Dreieck OMS als Extremalfall in Frage kommen: Dieses Dreieck hat die Fläche 4 und übertrifft damit den vorhin berechneten Flächeninhalt von 3.08.
Trotzdem war die vorige Rechnung nicht vergeblich und daher gleichwohl der Mühe wert
Nochmals beste Grüsse
H.R.
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Klaus
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. März, 2000 - 21:47:   Beitrag drucken

Mensch ich hab ne andere Lösung als mein Lehrer :-(

Um auch bei starken Regenfällen gross genug zu sein, muß ein Abwaserrohr in der Form eines Rechtecks mit unten aufgesetztem Halbkreis eine Querschnittsfläche von 2qm haben. Um die Kosten möglichst gering zu halten, ist der Umfang so klein wie möglich zu erstellen. Wie sind die Maße zu wählen?

Lehrer hat 1,129 = r, ich hab DAUERND 0,78

Klaus
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. März, 2000 - 22:18:   Beitrag drucken

Hi Martin,

Ein weiterer , hoffentlich letzter Nachtrag
Es gibt ein Dreieck der verlangten Art mit noch grösserer Fläche, und das wird dann das gesuchte sein :
Wähle auf der x-Achse einen Punkt L (s / 0), der Parameter s laufe von 0 bis 4.
O sei eine Ecke des Dreiecks (spitzer Winkel in O), L diejenige des rechten Winkels ,der dritte Punkt K liege senkrecht über L ,also ist x K = x L = s , y K= s*(4-s) Die Fläche des Dreiecks beträgt A = A(s) = ½*s^2*(4-s)=
2*s^2 - ½*s^3-
Die Ableitung nach s ist : A ' ( s ) = 4 s - 3/2 * s^2. Die von null verschiedene Lösung ist s = 8/3. Das gibt die Katheten s = 8/3 und yL = 8/3 * (4 -8/3) = 32/9
Die maximale Fläche ist (endgültig ? ) A max = 256/54 = 4.74.

Wünschbar wäre , wenn man sich zur Lösung solcher Aufgaben etwas mehr Zeit nehmen könnte.
Bitte die Aufgaben künftig frühzeitig ins Netz stellen
Mit freundlichen Grüssen
H.R.
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Martin
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. März, 2000 - 10:20:   Beitrag drucken

Hallo H.R.
Vielen,vielen Dank für deine Mühe!!!
Gruß Martin
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franz
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Veröffentlicht am Samstag, den 01. April, 2000 - 11:29:   Beitrag drucken

Betreffs Abwasserrohr: Mit dem Querschnitt Q sind die Seitenlänge a beziehungsweise der Umfang bereist festgelegt (keine richtige Extremwertaufgabe). Q=a²+pi*a²/8=(1+pi/8)*a²=! 2 m²; a=WURZEL(Q/(1+pi/8))=1,2 m .
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Fern
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Veröffentlicht am Sonntag, den 02. April, 2000 - 08:14:   Beitrag drucken

Hallo Klaus,
Mein Ergebnis:
Radius r = 0,748 m
Höhe des Rechtecks h = 0,748 m

Dies ergibt den kleinstmöglichen Umfang
U = 5,345 m
=============
mit dem geforderten Querschnitt A = 2 m²
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franz
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Veröffentlicht am Sonntag, den 02. April, 2000 - 22:06:   Beitrag drucken

Danke Fern! Ich hatte fälschlicherweise ein Quadrat angenommen. F.

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