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Vera Gmür (Vera567)
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Februar, 2002 - 12:50: |
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Hi! Ich hab hier ne Vektorgeometrieaufgabe, die ich trotz bekannten Lösungen nicht versteh.. wer kann mir den Lösungsweg aufzeigen? Danke! Vera Die Gerade g durch die Punkte A(4/3/4) und B(5/4/4) und die Kugel K mit dem Mittelpunkt M(-2/13/0) und dem Radius r=6 sind gegeben. a) Welche Koordinaten besitzt der Punkt P auf der Geraden g, der den kleinsten Abstand von der Kugel K besitzt? b) Wie lautet die Gleichung der kleinsten Kugel, welche die Gerade g und die Kugel K berührt? c) Welche Gleichung hat die gemeinsame Tangetialebene der beiden Kugeln im Berührungspunkt? Lösungen: a)P(6/5/4) b)Mk(4/7/3); rk=3 c)Berührungspunkt B(2/9/2); Tangentialebene T: 2x - 2y + z + 12 = 0 |
H.R.Moser,megamath
| Veröffentlicht am Freitag, den 22. Februar, 2002 - 08:43: |
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Hi Vera, Richtungsvektor v = AB = {1;1;0}, daraus Parametergleichung der Verbindungsgeraden g = AB mit t als Parameter: x = 4 + t, y =3 + t , z = 4…………………………………………...(1) Normalebene E zu g durch M x + y = d Da E durch M geht, gilt d = 11,also E: x + y = 11……………………………………………………….(2) Merke: die Koeffizienten von x, y ,z in der Gleichung von E stimmen mit den Koordinaten (Komponenten ) des Vektors v überein . a) P als Durchstosspunkt (Schnittpunkt) von g mit E: (1)in die Gleichung (2) einsetzen und nach t auflösen führt auf t = 2 und mit (1) auf P(6/5/4). b) w sei der Vektor M P (Verbindungsvektor der Punkte M und P) wir erhalten: w = {8;-8;4} = 4* {2;-2;1} Wir berechnen den Betrag b dieses Vektors und erhalten: b = 4 * wurzel {2^2+(-2)^2+1^2} = 4*3 =12 Bedeutung: b = 12 ist der Abstand der Punkte M und P. Der Durchmesser dk der gesuchten kleinsten Kugel ergibt sich als Differenz dk = b – r = 12 - 6 = 6; somit gilt für deren Radius rk : rk = ½ *dk = 3. Der Mittelpunkt Mk liegt auf der Geraden h = MP im Abstand a1 = r + rk = 6 + 3 = 9 von M ,in Richtung MP Der Berührungspunkt T der beiden Kugeln liegt ebenfalls auf der Geraden h = MP im Abstand a2 = r = 6 von M , in Richtung MP Anmerkung Fehler in der Aufgabenstellung Der gesuchte Berührungspunkt darf nicht mit B bezeichnet werden, da diese Bezeichnung schon vergeben ist und zwar an den Punkt, der zusammen mit A die Gerade g bestimmt. In Anlehnung an das Wort Taktion (Berührung), wählen wir die Bezeichnung „T“: Da das Abtragen von Strecken mit vorgeschriebenen Längen etwas heikel ist,zeige ich Dir diese Methode erst in einer Fortsetzung zu dieser Arbeit. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath
| Veröffentlicht am Freitag, den 22. Februar, 2002 - 09:26: |
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Hi Vera, Endspurt ! Der Verbindungsvektor w = MP = 4* {2;-2;1}hat, wie wir wissen und nachrechnen können, den Betrag (Länge) b = 12. Multiplizieren wir ihn mit dem Reziprokwert 1/ b = 1/12, so erhalten wir einen Einheitsvektor e derselben Richtung e = {2/3 ; –2/3 ; 1/3} Bestätige: Der Betrag von e ist, wie es sich für einen Einheitsvektor gehört, gleich eins. Mit diesem Vektor als Richtungsvektor schreiben wir die Parametergleichung der Geraden MP auf; sie lautet mit s als Parameter: x = - 2 + 2/3 * s y = 13 - 2/3 * s z = 0 + 1/3 * s Um den Punkt Mk zu erhalten, setze s = a1 = 9 , da MMk = 9 gilt Resultat: Mk(4/7/3) °°°°°°°°°°°°°°°°°°° Um den Punkt T zu erhalten, setze s = a2 = 6 , da MT = 6 gilt Resultat: T(2/9/2) °°°°°°°°°°°°°°°°° Die Gleichung der gemeinsamen Tangentialeben TAU erhalten wir sofort aus der Tatsache, dass der Vektor e oder ein Vielfaches davon, etwa der Vektor {2 ; - 2 ; 1 } ein Normalenvektor von TAU ist. Da ausserdem TAU durch T geht, lautet die Gleichung der gesuchten Tangentialebene: 2 x -2 y + z = - 12. °°°°°°°°°°°°°°°°°°° MfG H.R.Moser,megamath |
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